Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
| optics:res2.4 [2020/02/10 08:33] – root | optics:res2.4 [2020/02/10 17:31] (текущий) – root | ||
|---|---|---|---|
| Строка 6: | Строка 6: | ||
| в уравнения связи полей и потенциалов | в уравнения связи полей и потенциалов | ||
| - | $\mathbf{B}=\text{rot}\mathbf{A}=[\nabla\times\mathbf{A}]$, | + | $$\mathbf{B}=\text{rot}\mathbf{A}=[\nabla\times\mathbf{A}], |
| - | $\mathbf{E}=-\text{grad}\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}=-\nabla\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}$. | + | $$\mathbf{E}=-\text{grad}\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}=-\nabla\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}.$$ |
| Запишем функции полей и потенциалов, | Запишем функции полей и потенциалов, | ||
| - | $\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega$, $\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}$, $\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k}$, | + | $$ |
| - | + | \mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega | |
| - | $\mathbf{A}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega$, $\mathbf{A}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}$, $\mathbf{A}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k}$, | + | $$ |
| - | + | $$\mathbf{A}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k}, | |
| - | $\mathbf{E}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega$, $\mathbf{E}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}$, $\mathbf{E}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k}$, | + | $$ |
| - | + | $$\mathbf{E}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k} =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k}, | |
| - | $\varphi=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{\varphi}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega$, $ \varphi=\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}$, $\varphi=\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k}$. | + | $$ |
| + | \varphi=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{\varphi}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega =\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k} =\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k}. | ||
| + | $$ | ||
| Фурье образы $\mathbf{B}_{\omega}, | Фурье образы $\mathbf{B}_{\omega}, | ||
| Строка 28: | Строка 30: | ||
| сначала разложение на монохроматические волны: | сначала разложение на монохроматические волны: | ||
| - | $\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega=[\nabla\times\mathbf{\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega}]=\intop_{-\infty}^{\infty}[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]e^{-i\omega t}d\omega$ | + | $$ |
| + | \mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega=[\nabla\times\mathbf{\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega}]=\intop_{-\infty}^{\infty}[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]e^{-i\omega t}d\omega | ||
| + | .$$ | ||
| перепишем равенство в виде | перепишем равенство в виде | ||
| - | + | $$ | |
| - | $\intop_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{B}_{\omega}-[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]\right)e^{-i\omega t}d\omega=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega=\mathbf{F}(t)=0$ | + | \intop_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{B}_{\omega}-[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]\right)e^{-i\omega t}d\omega=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega=\mathbf{F}(t)=0 |
| + | .$$ | ||
| Но для всюду нулевой функции $\mathbf{F}(t)=0$ её образ | Но для всюду нулевой функции $\mathbf{F}(t)=0$ её образ | ||
| - | $\mathbf{F}_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}(t)e^{i\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}0\cdot e^{i\omega t}d\omega=0$ | + | $$\mathbf{F}_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}(t)e^{i\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}0\cdot e^{i\omega t}d\omega=0 |
| так же будет нулевым | так же будет нулевым | ||
| - | $\mathbf{B}_{\omega}-[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]=0$ | + | $$\mathbf{B}_{\omega}-[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]=0$$ |
| так, что | так, что | ||
| - | $\mathbf{B}_{\omega}=[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]$ | + | $$\mathbf{B}_{\omega}=[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}] |
| Рассмотрим теперь разложение на плоские волны: | Рассмотрим теперь разложение на плоские волны: | ||
| - | $\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=[\nabla\times\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}]=\intop_{-\infty}^{\infty}[\nabla\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}]d\mathbf{k}=$ | + | $$ |
| - | + | \mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=[\nabla\times\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}]=\intop_{-\infty}^{\infty}[\nabla\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}]d\mathbf{k}= | |
| - | $=\intop_{-\infty}^{\infty}i[\mathbf{r}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}]d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}i[\mathbf{r}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}$ | + | $$ |
| + | $$\intop_{-\infty}^{\infty}i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}]d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k} | ||
| + | $$ | ||
| перепишем равенство в виде | перепишем равенство в виде | ||
| - | $\intop_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{B}_{\mathbf{k}}-i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]\right)e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=0$ | + | $$ |
| + | \intop_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{B}_{\mathbf{k}}-i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]\right)e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=0 | ||
| Аналогично, | Аналогично, | ||
| функции | функции | ||
| - | $\mathbf{B}_{\mathbf{k}}-i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]=0$ | + | $$\mathbf{B}_{\mathbf{k}}-i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]=0,$$ |
| ну и окончательно | ну и окончательно | ||
| - | $\mathbf{B}_{\mathbf{k}}=i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]$. | + | $$\mathbf{B}_{\mathbf{k}}=i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}].$$ |
| При разложении по плоским и монохроматическим: | При разложении по плоским и монохроматическим: | ||
| - | $\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}}=i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}]$. | + | $$\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}}=i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}].$$ |
| Аналогичные построения для электрического поля приводят к выражениям: | Аналогичные построения для электрического поля приводят к выражениям: | ||
| - | $\mathbf{E}_{\omega}=-\nabla\varphi_{\omega}+i\frac{\omega}{c}\mathbf{A}_{\omega}$ | + | $$\mathbf{E}_{\omega}=-\nabla\varphi_{\omega}+i\frac{\omega}{c}\mathbf{A}_{\omega}.$$ |
| - | $\mathbf{E_{k}}=-i\mathbf{k}\varphi_{\mathbf{k}}-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{\mathbf{A}_{\mathbf{k}}}}{\partial t}$ | + | $$\mathbf{E_{k}}=-i\mathbf{k}\varphi_{\mathbf{k}}-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{\mathbf{A}_{\mathbf{k}}}}{\partial t}.$$ |
| - | $\mathbf{E_{\omega\mathbf{k}}}=-i\mathbf{k}\varphi_{\omega\mathbf{k}}+i\frac{\omega}{c}\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}$ | + | $$\mathbf{E_{\omega\mathbf{k}}}=-i\mathbf{k}\varphi_{\omega\mathbf{k}}+i\frac{\omega}{c}\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}.$$ |