Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res2.4 [2020/02/10 08:35] – root
+++ optics:res2.4 [2020/02/10 17:31] (текущий) – root
@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 в уравнения связи полей и потенциалов
-$\mathbf{B}=\text{rot}\mathbf{A}=[\nabla\times\mathbf{A}]$,
+$$\mathbf{B}=\text{rot}\mathbf{A}=[\nabla\times\mathbf{A}],$$
-$\mathbf{E}=-\text{grad}\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}=-\nabla\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}$.
+$$\mathbf{E}=-\text{grad}\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}=-\nabla\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}.$$
 Запишем функции полей и потенциалов, выраженные через их Фурье образы:
@@ Строка 30: / Строка 30: @@
 сначала разложение на монохроматические волны:
-$\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega=[\nabla\times\mathbf{\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega}]=\intop_{-\infty}^{\infty}[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]e^{-i\omega t}d\omega$
+$$
+\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega=[\nabla\times\mathbf{\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega}]=\intop_{-\infty}^{\infty}[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]e^{-i\omega t}d\omega
+.$$
 перепишем равенство в виде
+$$
-$\intop_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{B}_{\omega}-[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]\right)e^{-i\omega t}d\omega=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega=\mathbf{F}(t)=0$
+\intop_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{B}_{\omega}-[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]\right)e^{-i\omega t}d\omega=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega=\mathbf{F}(t)=0
+.$$
 Но для всюду нулевой функции $\mathbf{F}(t)=0$ её образ
-$\mathbf{F}_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}(t)e^{i\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}0\cdot e^{i\omega t}d\omega=0$
+$$\mathbf{F}_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}(t)e^{i\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}0\cdot e^{i\omega t}d\omega=0 $$
 так же будет нулевым
-$\mathbf{B}_{\omega}-[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]=0$
+$$\mathbf{B}_{\omega}-[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]=0$$
 так, что
-$\mathbf{B}_{\omega}=[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]$
+$$\mathbf{B}_{\omega}=[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}] .$$
 Рассмотрим теперь разложение на плоские волны:
-$\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=[\nabla\times\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}]=\intop_{-\infty}^{\infty}[\nabla\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}]d\mathbf{k}=$
+$$
+\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=[\nabla\times\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}]=\intop_{-\infty}^{\infty}[\nabla\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}]d\mathbf{k}=
-$=\intop_{-\infty}^{\infty}i[\mathbf{r}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}]d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}i[\mathbf{r}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}$
+$$
+$$\intop_{-\infty}^{\infty}i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}]d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}
+$$
 перепишем равенство в виде
-$\intop_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{B}_{\mathbf{k}}-i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]\right)e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=0$
+$$
+\intop_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{B}_{\mathbf{k}}-i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]\right)e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=0 .$$
 Аналогично, как и в предыдущем случае, приходим к равенству нулю подынтегральной
 функции
-$\mathbf{B}_{\mathbf{k}}-i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]=0$
+$$\mathbf{B}_{\mathbf{k}}-i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]=0,$$
 ну и окончательно
-$\mathbf{B}_{\mathbf{k}}=i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]$.
+$$\mathbf{B}_{\mathbf{k}}=i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}].$$
 При разложении по плоским и монохроматическим:
-$\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}}=i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}]$.
+$$\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}}=i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}].$$
 Аналогичные построения для электрического поля приводят к выражениям:
-$\mathbf{E}_{\omega}=-\nabla\varphi_{\omega}+i\frac{\omega}{c}\mathbf{A}_{\omega}$
+$$\mathbf{E}_{\omega}=-\nabla\varphi_{\omega}+i\frac{\omega}{c}\mathbf{A}_{\omega}.$$
-$\mathbf{E_{k}}=-i\mathbf{k}\varphi_{\mathbf{k}}-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{\mathbf{A}_{\mathbf{k}}}}{\partial t}$
+$$\mathbf{E_{k}}=-i\mathbf{k}\varphi_{\mathbf{k}}-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{\mathbf{A}_{\mathbf{k}}}}{\partial t}.$$
-$\mathbf{E_{\omega\mathbf{k}}}=-i\mathbf{k}\varphi_{\omega\mathbf{k}}+i\frac{\omega}{c}\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}$
+$$\mathbf{E_{\omega\mathbf{k}}}=-i\mathbf{k}\varphi_{\omega\mathbf{k}}+i\frac{\omega}{c}\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}.$$