optics:res2.5

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
optics:res2.5 [2020/02/10 18:35] – rootoptics:res2.5 [2020/02/10 18:41] (текущий) – [б)] root
Строка 4: Строка 4:
  
 ----- -----
 +===== а) =====
  
 Кулоновский потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона: Кулоновский потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона:
  
-$\Delta\varphi=-4\pi q\delta(\mathbf{r})$ +$$\Delta\varphi=-4\pi q\delta(\mathbf{r}).$$ 
- +Как и в [[res2.4|предыдущей задаче]] запишем потенциал в виде: 
-Как и в предыдущей задаче запишем потенциал в виде: +$$\varphi=\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},$$ 
- +а трёхмерную дельта--функцию в виде 
-$\varphi=\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},$ +$$ 
-а трёхмерную дельта\textendash функцию в виде +\delta(\mathbf{r})=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k} 
- +.$$ 
-$\delta(\mathbf{r})=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}$ +Подействовав лапласианом на функцию $\varphi$ получим с одной стороны: 
- +$$ 
-Подействовав лапласианом на функцию получим с одной стороны: +\Delta\varphi=\Delta\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}\Delta e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=-\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}\mathbf{k}^{2}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}, 
- +$$
-$\Delta\varphi=\Delta\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}\Delta e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=-\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}\mathbf{k}^{2}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},$ +
 а с другой а с другой
- +$$ 
-$-4\pi q\delta(\mathbf{r})=-4\pi q\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=-q\frac{1}{2\pi^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}.$ +-4\pi q\delta(\mathbf{r})=-4\pi q\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=-q\frac{1}{2\pi^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}. 
 +$$
 Приравнивая обе части получим равенство подынтегральных функций: Приравнивая обе части получим равенство подынтегральных функций:
- +$$ 
-$\varphi_{\mathbf{k}}\mathbf{k}^{2}=q\frac{1}{2\pi^{2}},$ +\varphi_{\mathbf{k}}\mathbf{k}^{2}=q\frac{1}{2\pi^{2}}, 
 +$$
 так, что так, что
 +$$
 +\varphi_{\mathbf{k}}=\frac{q}{2\pi^{2}\mathbf{k}^{2}}.
 +$$
  
-$\varphi_{\mathbf{k}}=\frac{q}{2\pi^{2}\mathbf{k}^{2}}.$ +===== б) ===== 
- +Аналогично рассмотрим и для тока:  
-Аналогично рассмотрим и для тока: $\mathbf{J}=j\delta(x)\delta(y),$ +$$\mathbf{J}=j\delta(x)\delta(y),$$ 
-удовлетворяющему уравнению для векторного потенциала: $\Delta\mathbf{A}=-\frac{4\pi}{c}\mathbf{J},$+удовлетворяющему уравнению для векторного потенциала:  
 +$$\Delta\mathbf{A}=-\frac{4\pi}{c}\mathbf{J},$$
 тогда с одной стороны: тогда с одной стороны:
  
-$\Delta\mathbf{A}=\Delta\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},\mathbf{A}=-\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{k}^{2}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},$+$$\Delta\mathbf{A}=\Delta\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},\mathbf{A}=-\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{k}^{2}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},$$
  
 с другой стороны с другой стороны
  
-$-\frac{4\pi}{c}\mathbf{J}=-\frac{4\pi}{c}j\delta(x)\delta(y)=-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}dxdy=$+$$-\frac{4\pi}{c}\mathbf{J}=-\frac{4\pi}{c}j\delta(x)\delta(y)=-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}dk_xdk_y=$$
  
-$-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}dxdy\,\delta(k_{z})e^{ik_{z}z}dz$+$$-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}dk_xdk_y\,\delta(k_{z})e^{ik_{z}z}dk_z .$$
  
 Приравнивая обе части получим равенство подынтегральных функций: Приравнивая обе части получим равенство подынтегральных функций:
  
-$-\mathbf{k}^{2}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}=-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\delta(k_{z})=-\frac{1}{c}j\frac{1}{\pi}\delta(k_{z})$+$$-\mathbf{k}^{2}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}=-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\delta(k_{z})=-\frac{1}{c}j\frac{1}{\pi}\delta(k_{z})$$
  
 так, что так, что
  
-$\mathbf{A}_{\mathbf{k}}=\frac{j\delta(k_{z})}{\pi c\mathbf{k}^{2}}.$+$$\mathbf{A}_{\mathbf{k}}=\frac{j\delta(k_{z})}{\pi c\mathbf{k}^{2}}.$$