Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res3.35 [2020/04/15 13:28] – root
+++ optics:res3.35 [2020/04/15 13:39] (текущий) – root
@@ Строка 14: / Строка 14: @@
 Тогда интенсивности прошедших лучей выразятся в виде
 $$I_{1'}=\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}$$
-\pause
 $$I_{2'}=R_{1}R_{2}I_{1'}=R_{1}R_{2}\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}$$
+$$I_{3'}=R_{1}R_{2}I_{2'}=R_{1}^{2}R_{2}^{2}\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}$$
+т.е. на $m+1$ шаге
+$$I_{m+1}=R_{1}^{m}R_{2}^{m}\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}.$$
+Амплитуда электрического поля $E\sim\sqrt{I}$ так, что
+$$E_{m+1}=\left(-1\right)^{m}R_{1}^{\frac{m}{2}}R_{2}^{\frac{m}{2}}\sqrt{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)}E_{0},$$
+где изменение знака, т.е. появление коэффициента $\left(-1\right)^{m}$,
+происходит при условии $\varepsilon_{1}<\varepsilon_{2}<\varepsilon_{3}$ ---
+при отражении от более плотной среды (граница раздела $\varepsilon_{2}$ и $\varepsilon_{3}$).
+Для записи в общем случае, для
+произвольной среды перейдём от коэффициента $R$ к коэффициенту отражения
+для **амплитуды поля**
+$$r_{1}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{1}}}{\sqrt{\varepsilon_{1}}+\sqrt{\varepsilon_{2}}},$$
+$$r_{2}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{3}}}{\sqrt{\varepsilon_{2}}+\sqrt{\varepsilon_{3}}},$$
+так, что $r_{i}^{2}=R_{i}$, но при этом, нам теперь не надо учитывать
+знак, при других различных соотношениях между диэлектрическими проницаемостями сред.
+Тогда
+$$E_{m+1}=r_{1}^mr_{2}^m\sqrt{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)}E_{0}.$$
+Разность хода между двумя соседними лучами $\Delta=2a,$ тогда суммарная
+амплитуда прошедшей волны с учётом набега фазы $\varphi=k\Delta=\frac{4\pi a}{\lambda}$:
+$$E={\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}E_{m+1}e^{im\varphi}}=$$
+$${\displaystyle\sqrt{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)}E_{0}\sum_{m=0}^{\infty}e^{im\varphi}r_{1}^mr_{2}^m}=$$
+$$\sqrt{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)}E_{0}\frac{1}{1-e^{i\varphi}r_{1}r_{2}}$$
+Найдём, теперь интенсивность прошедшей волны: $I\sim EE^{*}$.
+$$I_{D}=\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}\frac{1}{\left(1-e^{i\varphi}r_{1}r_{2}\right)\left(1-e^{-i\varphi}r_{1}r_{2}\right)}=$$
+$$\frac{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}}{1+R_{1}R_{2}-2r_{1}r_{2}\cos\varphi}.$$
+Интенсивность отражённой волны будет минимальной, когда интенсивность
+пройденной волны будет максимальной:
+$$\frac{\partial I_{D}}{\partial a}=-\frac{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}2r_{1}r_{2}\sin\varphi}{\left(1+R_{1}R_{2}-2r_{1}r_{2}\cos\varphi\right)^{2}}\cdot\frac{4\pi n}{\lambda}=0.$$
+Следовательно $\sin\varphi=0$. Но для максимальности нужно что бы
+знаменатель при этом был минимальным,  и если $r_{1}r_{2}>0$, то $\cos\varphi=1$,
+а если $r_{1}r_{2}<0$, как в случае $\varepsilon_{1}<\varepsilon_{2}<\varepsilon_{3}$,
+то $\cos\varphi=-1.$  Тогда
+$$\frac{4\pi a}{\lambda}=\pi+2\pi m, \ \
+\text{ т.е. } \ a=\frac{\lambda}{4}+\frac{\lambda}{2}m.$$
+Найдём теперь соотношение между $\varepsilon_{1},$ $\varepsilon_{2},$
+$\varepsilon_{3}$ когда отражения не будет (т.е. условие просветленной
+оптики).
+Для этого необходимо что бы $I_D=I_0$.
+Вспоминая формулу
+$$I_{D}=\frac{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}}{1+R_{1}R_{2}-2r_{1}r_{2}\cos\varphi}.$$
+приходим к тому, что должно выполняться равенство
+$$\left(1-r_{1}^{2}\right)\left(1-r_{2}^{2}\right)=\left.1+r_{1}^{2}r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\varphi\right|_{\cos\varphi=-1}=1+r_{1}^{2}r_{2}^{2}+2r_{1}r_{2}.
+$$
+Далее преобразования
+$$r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=-2r_{1}r_{2},$$
+$$\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}=0,$$
+$$\frac{\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{1}}}{\sqrt{\varepsilon_{1}}+\sqrt{\varepsilon_{2}}}=-\frac{\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{3}}}{\sqrt{\varepsilon_{2}}+\sqrt{\varepsilon_{3}}},$$
+$$\left(\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{1}}\right)\left(\sqrt{\varepsilon_{2}}+\sqrt{\varepsilon_{3}}\right)=-\left(\sqrt{\varepsilon_{1}}+\sqrt{\varepsilon_{2}}\right)\left(\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{3}}\right)$$
+Приводя подобные члены, приходим к известному уже соотношению:
+$$\varepsilon_{2}=\sqrt{\varepsilon_{1}\varepsilon_{3}}.$$