Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res3.35 [2020/04/15 13:33] – root
+++ optics:res3.35 [2020/04/15 13:39] (текущий) – root
@@ Строка 37: / Строка 37: @@
 Тогда
-$$E_{m+1}=r_{1}r_{2}\sqrt{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)}E_{0}.$$
+$$E_{m+1}=r_{1}^mr_{2}^m\sqrt{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)}E_{0}.$$
+Разность хода между двумя соседними лучами $\Delta=2a,$ тогда суммарная
+амплитуда прошедшей волны с учётом набега фазы $\varphi=k\Delta=\frac{4\pi a}{\lambda}$:
+$$E={\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}E_{m+1}e^{im\varphi}}=$$
+$${\displaystyle\sqrt{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)}E_{0}\sum_{m=0}^{\infty}e^{im\varphi}r_{1}^mr_{2}^m}=$$
+$$\sqrt{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)}E_{0}\frac{1}{1-e^{i\varphi}r_{1}r_{2}}$$
+Найдём, теперь интенсивность прошедшей волны: $I\sim EE^{*}$.
+$$I_{D}=\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}\frac{1}{\left(1-e^{i\varphi}r_{1}r_{2}\right)\left(1-e^{-i\varphi}r_{1}r_{2}\right)}=$$
+$$\frac{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}}{1+R_{1}R_{2}-2r_{1}r_{2}\cos\varphi}.$$
+Интенсивность отражённой волны будет минимальной, когда интенсивность
+пройденной волны будет максимальной:
+$$\frac{\partial I_{D}}{\partial a}=-\frac{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}2r_{1}r_{2}\sin\varphi}{\left(1+R_{1}R_{2}-2r_{1}r_{2}\cos\varphi\right)^{2}}\cdot\frac{4\pi n}{\lambda}=0.$$
+Следовательно $\sin\varphi=0$. Но для максимальности нужно что бы
+знаменатель при этом был минимальным,  и если $r_{1}r_{2}>0$, то $\cos\varphi=1$,
+а если $r_{1}r_{2}<0$, как в случае $\varepsilon_{1}<\varepsilon_{2}<\varepsilon_{3}$,
+то $\cos\varphi=-1.$  Тогда
+$$\frac{4\pi a}{\lambda}=\pi+2\pi m, \ \
+\text{ т.е. } \ a=\frac{\lambda}{4}+\frac{\lambda}{2}m.$$
+Найдём теперь соотношение между $\varepsilon_{1},$ $\varepsilon_{2},$
+$\varepsilon_{3}$ когда отражения не будет (т.е. условие просветленной
+оптики).
+Для этого необходимо что бы $I_D=I_0$.
+Вспоминая формулу
+$$I_{D}=\frac{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}}{1+R_{1}R_{2}-2r_{1}r_{2}\cos\varphi}.$$
+приходим к тому, что должно выполняться равенство
+$$\left(1-r_{1}^{2}\right)\left(1-r_{2}^{2}\right)=\left.1+r_{1}^{2}r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\varphi\right|_{\cos\varphi=-1}=1+r_{1}^{2}r_{2}^{2}+2r_{1}r_{2}.
+$$
+Далее преобразования
+$$r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=-2r_{1}r_{2},$$
+$$\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}=0,$$
+$$\frac{\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{1}}}{\sqrt{\varepsilon_{1}}+\sqrt{\varepsilon_{2}}}=-\frac{\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{3}}}{\sqrt{\varepsilon_{2}}+\sqrt{\varepsilon_{3}}},$$
+$$\left(\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{1}}\right)\left(\sqrt{\varepsilon_{2}}+\sqrt{\varepsilon_{3}}\right)=-\left(\sqrt{\varepsilon_{1}}+\sqrt{\varepsilon_{2}}\right)\left(\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{3}}\right)$$
+Приводя подобные члены, приходим к известному уже соотношению:
+$$\varepsilon_{2}=\sqrt{\varepsilon_{1}\varepsilon_{3}}.$$