Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res3.72 [2020/04/22 10:23] – создано root
+++ optics:res3.72 [2021/04/12 09:42] (текущий) – root
@@ Строка 7: / Строка 7: @@
 -----
-{{:optics:выделение_257.png?direct&200 |}}В соответствии с принципом Гюйгенса\textendash Френеля (в приближении
+{{:optics:выделение_257.png?direct&200 |}}В соответствии с принципом Гюйгенса Френеля (в приближении
-Фраунгофера) каждый участок щели является источником плоских волн \pause
+Фраунгофера) каждый участок щели является источником плоских волн
 вида $$dE=\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-k\Delta)}dx,$$ где $\Delta=x\sin\varphi.$
-\pause
 Амплитуда суммарного поля от щели под углом $\varphi,$ которое для
-наблюдения на экране собирается линзой в плоскости изображения.
+наблюдения на экране собирается линзой в плоскости изображения, равна
+$$
+E=\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx=\left.\frac{E_{0}}{b}\frac{e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}}{\text{-}ik\sin\varphi}\right|_{0}^{b}=
+$$
+$$\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\frac{e^{i\frac{1}{2}kb\sin\varphi}-e^{-i\frac{1}{2}kb\sin\varphi}}{ik\sin\varphi}=$$
+$$\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\frac{2\sin\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right)}{k\sin\varphi}=
+$$
+$$\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\text{sinc}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right).$$
+Тогда интенсивность
+$$I\sim|E|^{2}\sim I_{0}\text{sinc}^{2}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right).$$
+Найдём максимумы:
+$$\frac{dI}{du}=I_{0}\frac{d\left(\frac{\sin^{2}u}{u^{2}}\right)}{du}=\frac{2}{u^{2}}\sin u\cos u-\frac{2}{u^{3}}\sin^{2}u=0.$$
+следовательно $\text{tg}u=u$.
+Главный максимум будет при $u=0$ следующий недалеко от $u=\pi+\frac{\pi}{2}$.
+Если задачу решать точно, например в Maple, то $u\approx\pi+1.35$
+--- точность 15 %.
+Тогда $\text{sinc}^{2}u\approx0.047\approx\frac{1}{20}$
+{{:optics:выделение_258.png?direct&200 |}}Рассмотрим, теперь две щели.
+Тогда новый интеграл будет интегралом
+по двум щелям
+$$E=\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx+\int_{d}^{d+b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx.$$
+Произведём замену во втором интеграле $x'=x-d$
+$$E=\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-kx\sin\varphi)}dx+e^{-ikd\sin\varphi}\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx'\sin\varphi)}dx'=$$
+$$\left(1+e^{-ikd\sin\varphi}\right)\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-kx\sin\varphi)}dx=$$
+$$
+\left(1+e^{-ikd\sin\varphi}\right)\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\text{sinc}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right)=$$
+$$2e^{-\frac{1}{2}ikd\sin\varphi}\cos\left(\frac{1}{2}kd\sin\varphi\right)\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\text{sinc}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right).$$
+Тогда интенсивность
+$$I=4I_{0}\cos\left(\frac{1}{2}kd\sin\varphi\right)\text{sinc}^{2}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right).$$