Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res4.31 [2020/05/14 11:51] – создано root
+++ optics:res4.31 [2020/05/14 11:53] (текущий) – root
@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 -----
-{{:optics:выделение_284.png?300 |}}Будем считать, что энергия излучения много меньше кинетической
+{{:optics:выделение_284.png?200 |}}Будем считать, что энергия излучения много меньше кинетической
 энергии электрона и он практически не отклонится от прямолинейного
 движения.  Тогда
-$$I=\frac{dW}{dt}\pause=\frac{2\ddot{p}^{2}}{3c^{3}}=\frac{2e^{2}a^{2}}{3c^{3}}=\frac{2e^{2}}{3c^{3}}\left(\frac{Ze^{2}}{mr^{2}}\right)^{2}.$$
+$$I=\frac{dW}{dt}=\frac{2\ddot{p}^{2}}{3c^{3}}=\frac{2e^{2}a^{2}}{3c^{3}}=\frac{2e^{2}}{3c^{3}}\left(\frac{Ze^{2}}{mr^{2}}\right)^{2}.$$
+Проинтегрируем излучение при всём движении электрона
+$$
+W=\frac{2e^{6}Z^{2}}{3c^{3}m^{2}}\intop\frac{dt}{r^{4}}=\frac{2e^{6}Z^{2}}{3c^{3}m^{2}}\intop\frac{dt}{\left(\rho^{2}+v^{2}t^{2}\right)^{2}}=\frac{2e^{6}Z^{2}}{3c^{3}m^{2}}\cdot\frac{1}{\rho^{3}v}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{d\xi}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}.$$
+Для взятия интеграла произведём замену $\xi=\text{tg}\alpha$
+$$I=\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{d\xi}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}=\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\alpha d\alpha=\frac{1}{2}\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos2\alpha\right)d\alpha=$$
+$$\frac{1}{2}\left.\left(\alpha+\frac{1}{2}\sin2\alpha\right)\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}.$$
+Так, что энергия излучения электрона:
+$$W=\frac{\pi e^{6}Z^{2}}{3c^{3}m^{2}\rho^{3}v}.$$