Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res4.4 [2020/05/13 17:24] – создано root
+++ optics:res4.4 [2020/05/14 11:17] (текущий) – root
@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 б) $\vec m = \vec m_0 e^{i\omega t}$;
 Указание: использовать результаты двух предыдущих задач.
 -----
-Использовать результаты двух предыдущих задач что бы познакомится с вектором Герца.
+Использовать результаты двух предыдущих задач что бы познакомится с [[вектор_герца|вектором Герца.]] Мы к нему не будем обращаться.
-Что такое вектор Герца?
+Найдём сначала векторный потенциал  в точке $\vec{r}=(x,y,z)$ находящейся на удалении от движущейся системы зарядов находящиеся вблизи $\vec{r}'=(x',y',z'),$ тогда
-Как мы помним, векторный и скалярный потенциалы удовлетворяют уравнениям
-Даламбера:
-$$\Delta\varphi-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=
-\square \varphi =-4\pi\rho,$$
-$$\Delta\vec{A}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}= \square \vec{A} =-\frac{4\pi}{c}\vec{j},$$
-которые получаются и уравнений Максвелла при наложении на потенциалы
-Лоренцевой калибровки
-$$\text{div}\vec{A}+\frac{1}{c}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0.$$
-Это значит, что на четыре переменные наложена одна связь, значит независимых
-только три.  Тогда можно ввести вектор $\vec{Z}$ так, что $$\vec{A}=\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{Z}}{\partial t}
-\text{ и } \varphi=-\text{div}\vec{Z}$$  в результате чего условие Лоренца
-будет автоматически выполнено.
-С другой стороны токи и заряды связаны между собой уравнением непрерывности:
-$$\text{div}\vec{j}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0.$$ тогда для
-них так же можно ввести новый формальный вектор $\vec{P}$ (поляризации,
-но не диэлектрической) связанный с плотностью
-$$\rho=-\text{div}\vec{P}$$
-и плотностью тока $$\vec{j}=\frac{\partial\vec{P}}{\partial t}.$$
-В
-этом случае уравнения Максвелла можно записать в виде $$\square \vec{Z}=-4\pi\vec{P}.$$
-Электрические и магнитные поля, в таком случае, выражаются через вектор
-Герца как:
-$$\vec{E}=\text{rot}\left(\text{rot}\vec{Z}\right)-4\pi\vec{P},$$
-$$\vec{H}=\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\left(\text{rot}\vec{Z}\right).$$
-Вернёмся теперь к нашей задаче.
-Найдём поле в точке $\vec{r}=(x,y,z)$ находящейся на удалении
-от движущейся системы зарядов находящиеся вблизи $\vec{r}'=(x',y',z')$,
-тогда
 $$\vec{A}(x,y,z,t)=\frac{\mu}{c}\int\frac{\vec{j}(x',y',z',t')}{R}dx'dy'dz',$$
 где $$R=\sqrt{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}.$$
@@ Строка 61: / Строка 27: @@
 и
 $$\frac{\varepsilon}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=\text{rot }\vec{H}.$$
-Вернёмся теперь к нашей задаче и рассмотрим $$\ensuremath{\vec{p}=\vec{p}_{0}e^{i\omega t}}; \ \text{ } \ \ensuremath{\vec{m}=\vec{m}_{0}e^{i\omega t}}.$$
+Рассмотрим $${\vec{p}=\vec{p}_{0}e^{i\omega t}}.$$
-Начнём с первого.
 Дополнительно будем считать, что $\varepsilon=\mu=1.$  Для векторного
 потенциала рассмотрим для простоты систему дискретных зарядов, тогда
@@ Строка 69: / Строка 34: @@
 $$\frac{1}{cr}\frac{\partial}{\partial t'}\vec{p}'(t')=\frac{i\omega}{cr}\vec{p}_{0}e^{i\omega t'}=\frac{i\omega}{cr}\vec{p}_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{R}{c}\right)}$$
 $$\vec{B}=\text{rot }\vec{A}.$$
-Далее будем считать $R\approx r$, и в сферических координатах $$A_{\theta}=A\sin\theta,\,A_{r}=A\cos\theta$$
+Далее будем считать $R\approx r$, и в сферических координатах $$A_{\theta}=-A\sin\theta,\,A_{r}=A\cos\theta .$$
-найдём поле. Так как
+Найдём поле. Так как
 $$\text{rot}{}_{r}\vec{A}=\frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial\left(\sin\theta A_{\alpha}\right)}{\partial\theta}-\frac{\partial A_{\theta}}{\partial\alpha}\right),
 $$
@@ Строка 79: / Строка 44: @@
 \text{rot}{}_{\alpha}\vec{A}=\frac{1}{r}\frac{\partial\left(rA_{\theta}\right)}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial A_{r}}{\partial\theta},$$
 то ненулевая компонента
-$$B_{\alpha}=\text{rot}{}_{\alpha}\vec{A}=\frac{1}{r}\frac{i\omega}{c}p_{0}\frac{\partial\left(e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\right)\sin\theta}{\partial r}-\frac{i\omega}{cr^{2}}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\frac{\partial\cos\theta}{\partial\theta}=$$
+$$B_{\alpha}=\text{rot}{}_{\alpha}\vec{A}=\frac{1}{r}\frac{i\omega}{c}p_{0}\frac{\partial\left(e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\right)\sin\theta}{\partial r}+\frac{i\omega}{cr^{2}}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\frac{\partial\cos\theta}{\partial\theta}=$$
-$$\frac{1}{r}\frac{\omega^{2}}{c^{2}}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta+\frac{i\omega}{cr^{2}}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta=
+$$\frac{1}{r}\frac{\omega^{2}}{c^{2}}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta-\frac{i\omega}{cr^{2}}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta=
 $$
-$$\left(\frac{\omega}{c}+\frac{i}{r}\right)\frac{\omega}{cr}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta.$$
+$$\left(\frac{\omega}{c}-\frac{i}{r}\right)\frac{\omega}{cr}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta.$$
 Электрическое поле в силу $$\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=\text{rot }\vec{H}$$
 будем искать в виде $$\vec{E}=\vec{E}_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)},$$
@@ Строка 88: / Строка 53: @@
 $$\frac{i\omega}{c}E_{r}=\text{rot}{}_{r}\vec{B}=\frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial\left(\sin\theta B_{\alpha}\right)}{\partial\theta}-\frac{\partial B_{\theta}}{\partial\alpha}\right)=$$
 $$
-\frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\omega}{c}+\frac{i}{r}\right)\frac{\omega}{cr}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\frac{\partial\left(\sin^{2}\theta\right)}{\partial\theta}=$$
+\frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\omega}{c}-\frac{i}{r}\right)\frac{\omega}{cr}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\frac{\partial\left(\sin^{2}\theta\right)}{\partial\theta}=$$
 $$
-\left(\frac{\omega}{c}+\frac{i}{r}\right)\frac{\omega}{cr^{2}}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\cos\theta.$$
+\left(\frac{\omega}{c}-\frac{i}{r}\right)\frac{\omega}{cr^{2}}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\cos\theta.$$
 $$\frac{i\omega}{c}E_{\theta}=\text{rot}{}_{\theta}\vec{B}=\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial B_{r}}{\partial\alpha}-\frac{1}{r}\frac{\partial\left(rB_{\alpha}\right)}{\partial r}=$$
 $$
--\frac{\frac{\omega}{c}p_{0}\sin\theta}{r}\frac{\partial\left(\left(\frac{\omega}{c}+\frac{i}{r}\right)e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\right)}{\partial r}=$$
+-\frac{\frac{\omega}{c}p_{0}\sin\theta}{r}\frac{\partial\left(\left(\frac{\omega}{c}-\frac{i}{r}\right)e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\right)}{\partial r}=$$
-$$\frac{i\frac{\omega}{c}p_{0}\sin\theta}{r^{3}}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}+\frac{i\frac{\omega^{2}}{c^{2}}p_{0}\sin\theta}{r}\left(\frac{\omega}{c}+\frac{i}{r}\right)e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}=$$
+$$\frac{i\frac{\omega}{c}p_{0}\sin\theta}{r^{3}}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}+\frac{i\frac{\omega^{2}}{c^{2}}p_{0}\sin\theta}{r}\left(\frac{\omega}{c}-\frac{i}{r}\right)e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}=$$
 $$
-\left(\frac{1}{r^{2}}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}+\frac{i\omega}{rc}\right)i\frac{\omega}{rc}p_{0}\sin\theta e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}.$$
+\left(\frac{1}{r^{2}}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}-\frac{i\omega}{rc}\right)i\frac{\omega}{rc}p_{0}\sin\theta e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}.$$
 Тогда
-$$E_{r}=2\left(\frac{1}{r}-\frac{i\omega}{c}\right)\frac{p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\cos\theta}{r^{2}},$$
+$$E_{r}=-2\left(\frac{1}{r}+\frac{i\omega}{c}\right)\frac{p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\cos\theta}{r^{2}},$$
-$$E_{\theta}=\left(\frac{1}{r^{2}}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}+\frac{i\omega}{rc}\right)\frac{p_{0}\sin\theta e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}}{r}.$$
+$$E_{\theta}=\left(\frac{1}{r^{2}}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}-\frac{i\omega}{rc}\right)\frac{p_{0}\sin\theta e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}}{r}.$$