Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
| Следующая версия | Предыдущая версия | ||
| optics:res_fr [2022/03/12 13:11] – создано root | optics:res_fr [2022/03/12 13:31] (текущий) – root | ||
|---|---|---|---|
| Строка 2: | Строка 2: | ||
| падающей под углом $\varphi_{1}$ на плоскую границу между средами | падающей под углом $\varphi_{1}$ на плоскую границу между средами | ||
| с диэлектрическими $\varepsilon_{1}, | с диэлектрическими $\varepsilon_{1}, | ||
| - | проницаемостями $\mu_{1}, | + | проницаемостями $\mu_{1}, |
| + | |||
| + | ----- | ||
| На границе раздела свяжем тангенциальные компоненты электрического | На границе раздела свяжем тангенциальные компоненты электрического | ||
| - | и магнитного полей. Рассмотрим сначала TE--волну, | + | и магнитного полей. |
| + | |||
| + | Рассмотрим сначала TE--волну, | ||
| волну в которой электрическое поле имеет только тангенциальную компоненту, | волну в которой электрическое поле имеет только тангенциальную компоненту, | ||
| - | а магнитное поле как тангенциальную, | + | а магнитное поле как тангенциальную, |
| + | |||
| + | {{ :optics: | ||
| - | $E+E_{1}=E_{2}$, $H\sin\varphi+H_{1}\sin\varphi_{1}=H_{2}\sin\varphi_{2}, | + | $$E+E_{1}=E_{2}, |
| где $\varphi$ --- угол падения к нормали. Запишем магнитное поле | где $\varphi$ --- угол падения к нормали. Запишем магнитное поле | ||
| через электрическое: | через электрическое: | ||
| - | $[\vec{k}\times\vec{E}]=\frac{\omega}{c}\vec{B}=\frac{\omega\mu}{c}\vec{H}$, | + | $$[\vec{k}\times\vec{E}]=\frac{\omega}{c}\vec{B}=\frac{\omega\mu}{c}\vec{H}, |
| вспоминая, | вспоминая, | ||
| запишем | запишем | ||
| - | $\sqrt{\varepsilon}[\vec{n}\times\vec{E}]=\sqrt{\mu}\vec{H}$, где | + | $$\sqrt{\varepsilon}[\vec{n}\times\vec{E}]=\sqrt{\mu}\vec{H}, |
| $\vec{n}=\frac{\vec{k}}{k}$ --- направление распространения волны, | $\vec{n}=\frac{\vec{k}}{k}$ --- направление распространения волны, | ||
| тогда выбрав за направление $z$ направление распространения падающей | тогда выбрав за направление $z$ направление распространения падающей | ||
| волны, запишем условие для магнитного поля через электрическое: | волны, запишем условие для магнитного поля через электрическое: | ||
| - | $\left\{ \begin{array}{l} | + | $$\left\{ \begin{array}{l} |
| E+E_{1}=E_{2}\\ | E+E_{1}=E_{2}\\ | ||
| \left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}E_{2}\cos\varphi_{2} | \left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}E_{2}\cos\varphi_{2} | ||
| - | \end{array}\right.$ | + | \end{array}\right.$$ |
| найдём | найдём | ||
| - | $\left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\left(E+E_{1}\right)\cos\varphi_{2}$ | + | $$\left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\left(E+E_{1}\right)\cos\varphi_{2}$$ |
| - | $E\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}\right)=E_{1}\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}\right)$ | + | $$E\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}\right)=E_{1}\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}\right)$$ |
| + | |||
| + | <WRAP center round box 60%> | ||
| + | $$E_{1}^{TE}=E\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}, | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | <WRAP center round box 60%> | ||
| + | $$E_{2}^{TE}=\frac{2E\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}.$$ | ||
| + | </ | ||
| - | $E_{1}=E\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}$, | ||
| - | $E_{2}=\frac{2E\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}$ | ||
| Для расчёта коэффициента отражения и прохождения необходимо использовать | Для расчёта коэффициента отражения и прохождения необходимо использовать | ||
| отношение потоков энергии, | отношение потоков энергии, | ||
| - | $\vec{S}=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\vec{H}]=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}[\vec{n}\times\vec{E}]]=\frac{c}{4\pi}E^{2}\vec{n}$ | + | $$\vec{S}=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\vec{H}]=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}[\vec{n}\times\vec{E}]]=\frac{c}{4\pi}E^{2}\vec{n}.$$ |
| + | |||
| + | Коэффициент отражения: | ||
| + | <WRAP center round box 60%> | ||
| + | $$\rho_{r}^{TE}=\frac{S_{1}}{S}=\frac{E_{1}^{2}}{E^{2}}=\left(\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}\right)^{2}, | ||
| + | </ | ||
| - | Коэффициент отражения: | ||
| коэффициент прохождения найдём из закона сохранения энергии $\rho_{r}+\rho_{d}=1$: | коэффициент прохождения найдём из закона сохранения энергии $\rho_{r}+\rho_{d}=1$: | ||
| - | $\rho_{d}^{TE}=1-\rho_{r}=\frac{4\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}}{\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}\right)^{2}}$ | + | <WRAP center round box 60%> |
| + | $$\rho_{d}^{TE}=1-\rho_{r}=\frac{4\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}}{\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}\right)^{2}}.$$ | ||
| + | </ | ||
| Для TМ--волны, | Для TМ--волны, | ||
| поле имеет только тангенциальную компоненту, | поле имеет только тангенциальную компоненту, | ||
| как тангенциальную, | как тангенциальную, | ||
| - | местами: | + | местами. |
| - | $\left\{ \begin{array}{l} | + | {{ : |
| + | |||
| + | $$\left\{ \begin{array}{l} | ||
| H+H_{1}=H_{2}\\ | H+H_{1}=H_{2}\\ | ||
| \left(E-E_{1}\right)\cos\varphi_{1}=E_{2}\cos\varphi_{2} | \left(E-E_{1}\right)\cos\varphi_{1}=E_{2}\cos\varphi_{2} | ||
| - | \end{array}\right.$ | + | \end{array}\right.$$ |
| Всё выражая через электрическое поле: | Всё выражая через электрическое поле: | ||
| - | $\left\{ \begin{array}{l} | + | $$\left\{ \begin{array}{l} |
| \left(E+E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}=E_{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\\ | \left(E+E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}=E_{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\\ | ||
| \left(E-E_{1}\right)\cos\varphi_{1}=E_{2}\cos\varphi_{2} | \left(E-E_{1}\right)\cos\varphi_{1}=E_{2}\cos\varphi_{2} | ||
| - | \end{array}\right.$ | + | \end{array}\right.$$ |
| Решим систему: | Решим систему: | ||
| - | $\left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}=\left(E+E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}$ | + | $$\left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}=\left(E+E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}$$ |
| + | |||
| + | $$E\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}\right)=E_{1}\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}\right)$$ | ||
| + | |||
| + | <WRAP center round box 60%> | ||
| + | $$E_{1}^{TM}=E\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}$$ | ||
| + | </ | ||
| - | $E\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}\right)=E_{1}\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}\right)$ | + | <WRAP center round box 60%> |
| + | $$E_{2}^{TM}=\left(E+E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\right)^{-1}=\frac{E\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}.$$ | ||
| + | </ | ||
| - | $E_{1}=E\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}$ | ||
| - | $E_{2}=\left(E+E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\right)^{-1}=\frac{E\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}$ | + | Тогда коэффициент отражения: |
| - | Тогда коэффициент отражения: | + | <WRAP center round box 60%> |
| + | $$\rho_{r}^{TM}=\left(\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}\right)^{2}$$ | ||
| + | </ | ||
| коэффициент прохождения: | коэффициент прохождения: | ||
| - | $\rho_{d}^{TM}=\frac{4\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}}{\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}\right)^{2}}$ | + | <WRAP center round box 60%> |
| + | $$\rho_{d}^{TM}=\frac{4\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}}{\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}\right)^{2}}.$$ | ||
| + | </ | ||