electrodynamics:res1.29 [Задачи по физике]

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
1.29. Найти силу, действующую на диполь в слабонеоднородном электрическом поле. А если диполь квазиупругий (т.е. $\vec p \sim \vec E$)?

-----

В сила, действующая на диполь в неоднородном поле
является суммой сил, действующих на заряды диполя со стороны
неоднородного поля:
\begin{equation}
(1) \hspace{10pt} \vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}=Q(\vec{E_2}-\vec{E_1}),
\end{equation}
где $\vec{E_1}$ --- напряженность  электрического  поля в точке нахождения отрицательного заряда диполя ($-Q$); $\vec{E_2}$ --- в точке нахождения положительного заряда диполя. Если поле слабо меняется на расстояниях диполя, то поле $\vec{E_2}$  можно разложить в ряд Тейлора и
оставить в нем два первых отличных от нуля члена
$$
\vec{E_2}=\vec{E}\Bigl(\vec{R}+\vec{\ell}\Bigr)\approx$$ 
$$\vec{E}(\vec{R})+
\ell_x\frac{\partial\vec{E}}{\partial x}\;+\;
\ell_y\frac{\partial\vec{E}}{\partial y}\;+\;
\ell_z\frac{\partial\vec{E}}{\partial z} =$$
$$
\vec{E_1}\;+\;(\vec{\ell}\,{\nabla})\vec{E},
$$
где $(\vec{\ell}\,{\nabla})$ --- скалярное произведение  вектора
$\vec{\ell}$  и  вектора  ${\nabla}\!=\!\Big(\vec{i}\frac{\partial}
{\partial x}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+
\vec{k}\,\frac{\partial}{\partial z}\Big)$.
Подставим $\vec{E_2}$ в уравнение (1) и  учитывая,
что $\vec{P}=Q\vec{\ell}$, находим
выражение для силы, действующей на диполь
в слабонеоднородном поле:
\begin{equation}
(2) \hspace{10pt} \vec{F}=(\vec{P}{\nabla})\vec{E}.
\end{equation}
Если диполь "жесткий", т.е. не зависит от величины поля $\vec E$, то выражение (2), с учётом правил обращения с оператором [[nabla|"набла" - \(\nabla\)]], можно записать в виде:
<WRAP center round box 60%>
$$
\vec{F}=(\vec{P}{\nabla})\vec{E}={\nabla}(\vec{P} \vec{E})- \vec{P} \times \text{rot} \vec{E} ={\nabla}(\vec{P} \vec{E}).
$$
</WRAP>
Последнее равенство получено с учётом рассмотрения стационарного случая $\text{rot} \vec{E} =0$.

Если диполь "квазиупругий", тогда $\vec P$ зависит от величины поля $\vec E$ так, что $\vec P =\alpha \vec E$ то выражение (2) примет вид:
<WRAP center round box 60%>
$$
\vec{F}=(\vec{P}{\nabla})\vec{E}=\frac 12 {\nabla}(\vec{P}\vec{E}),
$$
</WRAP>

действительно:
$$
\nabla(\vec{P}\vec{E})=(\vec{P}\nabla)\vec{E}+\left[\vec{P}\times\text{rot }\vec{E}\right]+(\vec{E}\nabla)\vec{P}+\left[\vec{E}\times\text{rot }\vec{P}\right]=
$$
$$
=(\alpha\vec{E}\nabla)\vec{E}+\left[\alpha\vec{E}\times\text{rot }\vec{E}\right]+(\vec{E}\nabla)\alpha\vec{E}+\left[\vec{E}\times\text{rot }\alpha\vec{E}\right]=
$$
$$
=(\alpha\vec{E}\nabla)\vec{E}+(\vec{E}\nabla)\alpha\vec{E}=2(\alpha\vec{E}\nabla)\vec{E}=2(\vec{P}\nabla)\vec{E},
$$
где мы воспользовались условием $\text{rot }\vec{P}=\text{rot }\alpha\vec{E}=\alpha \ \text{rot }\vec{E}=0$.

/*
так как 
с одной стороны можем записать $(\vec{P} \vec{E})=\alpha  E^2$, а с другой при дифференцировании по одной переменной 
$$
\alpha \frac{\partial (E_x^2+E_y^2+E_z^2)}{\partial x}=
\alpha 2E_x\frac{\partial E_x}{\partial x}.
$$
*/