Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 1.3. Три одинаковых частицы имеют массу $m$ и заряд $-q$ каждая. Расстояние между каждой парой $a$. Они движутся на неизменном расстоянии вокруг центральной частицы, заряд которой равен $+q$. При какой скорости частиц система находится в равновесии? Какова энергия полной <<ионизации>> системы? ----- \(m\)-- масса, \(q\)-- заряд, \(a\) -- расстояние. Высота $h$ в правильном треугольнике \( h = \sqrt{a^2 - \frac{{a^2 }}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \). Суммарная сила, действующая на каждую частицу в вершинах треугольника: {{ :electrodynamics:pic13.jpg?300 |}} \[ \vec{F}_{\Sigma}=\vec{F}_1+\vec{F}_2-\vec{F}_3=\left[2F_1\cos(\pi/6)-F_3\right]\vec{e}_r, \] где вектор $\vec{e}_r$ направлен от центра треугольника к каждому заряду. \[ F_1=\frac{q^2}{a^2},\;\;F_3=\frac{q^2}{(2/3h)^2} \] \[ F_\Sigma = \frac{{q^2 }}{{a^2 }}\sqrt 3 - \frac{{3q^2 }}{{a^2 }} = - \frac{{q^2 }}{{a^2 }}\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 - 1} \right). \] Поскольку получилось отрицательное значение силы, значит она направлена к центру и, следовательно, возможно вращение частиц вокруг центра со скоростью, определяемой из условия равновесия -- равенства суммарной силы, действующей на каждую частицу, центробежной силе, т.е. \[ \frac{{mv^2 }}{r} = F_\Sigma. \] \[ \frac{{mv^2 \sqrt 3 }}{a} = \frac{{q^2 }}{{a^2 }}\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 - 1} \right) \] <WRAP center round box 60%> \[ v = \sqrt {\frac{{q^2 }}{{ma}}\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}. \] </WRAP> Полная энергия системы в этом равновесном состоянии равна \[ E = T + U = 3\frac{{mv^2 }}{2} + \frac{1}{2}(3U_1+U_0), \] где первый член -- это утроенная кинетическая энергия одной движущейся частицы, второе слагаемое -- это вклад каждой движущейся частицы в общую энергию взаимодействия за счет взаимодействия с другими, а третье слагаемое - вклад покоящейся частицы в общую энергию за счет взаимодействия с движущимися. Точнее, это будет выглядеть так. Полная энергия взаимодействия имеет вид \[ U=\frac{1}{2}\sum_{i,j,i\neq j}q_i\varphi_{ji}, \] где $\varphi_{ji}$ -- потенциал, который создает $j$-й заряд в точке, где находится заряд $i$. Для примера рассмотрим чему равен член $U_1$ в выражении для полной энергии \[ U_1=q\left(\varphi_{21}+\varphi_{31}+\varphi_{01}\right)= q\left(\frac{q}{a}+\frac{q}{a}-\frac{q}{2/3h}\right)=\frac{q^2}{a}\left(2-\sqrt{3}\right). \] Выражение для $U_0$ запишем аналогично в виде \[ U_0=-q3\frac{q}{2/3h}=-3\frac{q^2}{a}\sqrt{3}. \] Собирая все члены потенциальной энергии получим \[ U=\frac{1}{2}\left[3U_1+U_0\right]=-3\frac{q^2}{a}\left(\sqrt{3}-1\right). \] Используя ранее полученное выражение для скорости, полную энергию можно переписать в виде \[ E=T+U=3\left[\frac{mv^2}{2}-\frac{q^2}{a}\left(\sqrt{3}-1\right)\right]=-\frac{3}{2}\frac{q^2}{a}\left(\sqrt{3}-1\right). \] Для того, чтобы "ионизовать" систему, т.е. чтобы частицы разлетелись на бесконечность с нулевой скоростью, необходимо чтобы полная энергия системы стала равной нулю. Тогда очевидно, что необходимо "добавить" в систему энергию <WRAP center round box 60%> \[E_0=-E=\frac{3}{2}\frac{q^2}{a}\left(\sqrt{3}-1\right).\] </WRAP>