Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 1.31. Найти уравнение силовых линий точечного диполя с дипольным моментом $\vec{p}$, помещенного в начале координат. Нарисовать примерный вид силовых линий. ----- Для силовых линий характерно, что в каждой точке малый участок $\vec {d\ell}$ проходят касательно к силовой линии $\vec E$. Это приводит к тому, что векторное произведение $[\vec d\ell \times \vec E]=0$ будет нулевым. Это касается всех проекций. Тогда для $x$--овой компоненты $dy\cdot E_z - dz\cdot E_y=0$, следовательно \[ \frac{{dy }}{{E_y }} = \frac{{dz }}{{E_z }}. \] Аналогично для остальных компонент. Выберем систему координат так, что диполь располагается вдоль оси \(z\) сферической системы координат. Уравнение силовых линий поля \(\vec E\) в произвольной ортогональной системе координат записывается в виде \[ \frac{{h_1 dq_1 }}{{E_1 }} = \frac{{h_2 dq_2 }}{{E_2 }} = \frac{{h_3 dq_3 }}{{E_3 }} \] Используя [[https://ru.wikipedia.org/wiki/Криволинейная_система_координат#Коэффициенты_Ламе|коэффициенты Ламе]] для сферической системы координат \(h_r = 1\), \(h_\theta = r\), \(h_\phi = r\sin \theta\) и с учётом того, что зависимости от угла $\phi $ нет, запишем: \[ (1) \hspace{10pt} \frac{{dr}}{{E_r }} = \frac{{rd\theta }}{{E_\theta }} \] В [[res1.27|задаче 1.27]] мы нашли поле диполя, распишем его компоненты: \[ E_r = (\vec E\cdot \frac{\vec r}{r}) = - \frac{p}{{r^3 }}\cos \theta + \frac{{3p\cos \theta }}{{r^3 }} = 2\frac{p}{{r^3 }}\cos \theta, \] где использовали $(\vec p\cdot \vec r) = pr\cos \theta .$ Компонента $E_\theta $ связана только с первым слагаемым: \[ E_\theta = \frac{p}{{r^3 }}\sin \theta , \] для проекции $E_\theta$ мы выбрали знак "$-$", так как направление увеличения угла $\theta$ идёт против часовой стрелки и направлено в противоположную сторону от направления диполя $\vec p$. Подставим, теперь, вычисленные значения $E_r, E_\theta $ в (1) \[ \frac{{r^3 dr}}{{2p\cos \theta }} = \frac{{r^4 d\theta }}{{p\sin \theta }} \] и произведём разделение переменных: \[ \frac{{dr}}{r} = 2\frac{{d\theta \cos \theta }}{{\sin \theta }}. \] Равенство может выполняться, если они равны константе: \[ \frac{{dr}}{r} = C_1 = 2\frac{{d\sin \theta }}{{\sin \theta }} = 2\ln \sin \theta, \] следовательно, после интегрирования \[ \ln r = C_1 = \ln (\sin ^2 \theta). \] Таким образом силовые линии описываются семейством кривых: <WRAP center round box 60%> \[ \frac{r}{{\sin ^2 \theta }} = \text{const} . \] </WRAP> {{ :electrodynamics:выделение_050.jpg?direct&300 |Силовые линии диполя}}