Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 1.42. Найти потенциал электрического поля на больших расстояниях от следующих систем зарядов: а) заряды $q$, $-2q$, $q$ расположены на оси $Z$ на расстоянии $a$ друг от друга (линейный квадруполь); б) заряды $\pm q$ расположены в вершинах квадрата, стороны которого параллельны осям $X$ и $Y$, так что соседние заряды имеют разные знаки, а в начале координат расположен заряд $+q$ (плоский квадруполь). ----- ==== a) ==== Вычислим квадрупольный момент системы. Ось $\vec{OZ}$ выделенная направлением расположения зарядов. Поместим в центр с координатой $z=0$ второй заряд $q_2=-2q$, тогда первый и третий заряды будут соответственно с координатами $z_1=-a$, $z_3=a$. Итак \[ D_{zz} = \sum {q_i } \left( {3z_i^2 - r_i^2 } \right) = q(3a^2-a^2) -2q(0-0) + q(3a^2-a^2) = 4qa^2 = D, \] \[ D_{xx} = D_{yy} = - \sum {q_i r_i^2 } = - 2qa^2. \] Используя найденные квадрупольные моменты запишем потенциал \[ \varphi = \frac{{D_{\alpha \beta } n_\alpha n_\beta }}{{2R^3 }}, \] где соответствующие направления вектора $\vec R$, выраженные через углы сферических координат: \[ n_x = \sin \theta \cos \phi , \] \[ n_y = \sin \theta \sin \phi , \] \[ n_z = \cos \theta . \] Подставляя $$ \varphi = \frac{D_{xx} n_x^2 + D_{yy} n_y^2 + D_{zz} n_z^2 }{2R^3} = $$ $$ \frac{D}{2} \cdot \frac{1}{2R^2}\left(-n_x^2-n_y^2+2n_z^2 \right) = $$ $$ \frac{D}{4R^3}\left( - 1 + 3n_z^2 \right) $$ и окончательно: <WRAP center round box 60%> $$ \varphi = \frac{qa^2 }{R^3 }\left( 3\cos ^2 \theta - 1 \right). $$ </WRAP> ==== б) ==== Для вычисления определимся с координатами зарядов: ^ № ^ $1$ ^ $2$ ^ $3$ ^ $4$ ^ ^ $q$ | $q$ | $-q$ | $q$ | $-q$ | ^ $x$ | $0$ | $0$ | $a$ | $a$ | ^ $y$ | $0$ | $a$ | $a$ | $0$ | ^ $z$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | Вычислим момент \[ D_{xx} = \sum {q_i \left( {3x_i^2 - r_i^2 } \right)} = \] $$ q \cdot 0 - q \cdot (0 - a^2) + q \cdot (3a^2 - (\sqrt{2} a)^2 ) - q\cdot (3 a^2 - a^2) = 0. $$ Из симметрии $D_{yy} = 0$. Так как след матрицы $D_{ij}$ равен нулю, т.е. $0=D_{xx}+D_{yy}+D_{zz}$ следует, что $ D_{zz} = 0 $. Вычислим, теперь \[ D_{xy} = 3(q \cdot 0 \cdot 0 -q\cdot 0 \cdot a + q\cdot a \cdot a - q\cdot a \cdot 0 ) = 3qa^2. \] Из симметрии: \[ D_{yx} = D_{xy} = 3qa^2. \] Запишем, теперь, потенциал: <WRAP center round box 60%> \[ \varphi = \frac{{3qa^2 }}{{2R^3 }}\left\{ {n_x n_y + n_y n_x } \right\} = \frac{{3qa^2 }}{{2R^3 }}\sin ^2 \theta \sin 2\phi \] </WRAP>