Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 1.43. Найти уравнение силовых линий линейного квадруполя и нарисовать примерную картину силовых линий. ----- Выберем систему координат так, что линейный квадруполь располагается вдоль оси \(z\) сферической системы координат. Уравнение силовых линий поля \(\vec E\) в произвольной ортогональной системе координат записывается в виде \[ \frac{{h_1 dq_1 }}{{E_1 }} = \frac{{h_2 dq_2 }}{{E_2 }} = \frac{{h_3 dq_3 }}{{E_3 }} \] Используя [[https://ru.wikipedia.org/wiki/Криволинейная_система_координат#Коэффициенты_Ламе|коэффициенты Ламе]] для сферической системы координат \(h_r = 1\), \(h_\theta = r\), \(h_\phi = r\sin \theta\) и с учётом того, что зависимости от угла $\phi $ нет, запишем: \[ (1) \hspace{10pt} \frac{{dr}}{{E_r }} = \frac{{rd\theta }}{{E_\theta }} \] В [[res1.42|задаче 1.42]] мы нашли потенциал линейного квадруполя: $$ \varphi=\frac{qa^{2}}{r^{3}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right), $$ найдём, теперь, компоненты электрического поля: $$ E_{r}=-\frac{\partial\varphi}{\partial r}=3\frac{qa^{2}}{r^{4}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right), $$ $$ E_{\theta}=-\frac{\partial\varphi}{r\partial\theta}=6\frac{qa^{2}}{r^{4}}\sin\theta\cos\theta. $$ Подставив найденные компоненты в уравнение (1) придём к уравнению: $$ 2\frac{dr}{r}=\frac{(3\cos^{2}\theta-1)d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}-\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}. $$ Проинтегрируем: $$ \int\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}=\int\frac{3d\sin\theta}{\sin\theta}=3\ln|\sin\theta|+C_{1}, $$ $$ \int\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\int\frac{\cos\theta d\theta}{\sin\theta\cos^{2}\theta}=\int\frac{d\text{tg}\theta}{\text{tg}\theta}=\ln|\text{tg}\theta|+C_{2}. $$ Таким образом интеграл от правой части: $$ 3\ln|\sin\theta|+C_{1}-\ln|\text{tg}\theta|-C_{2}=\ln\left(\sin^{2}\theta|\cos\theta|\right)+C'_{1}, $$ где мы переопределили константу. Интеграл от левой части: $$ \int2\frac{dr}{r}=2\ln r+C_{3} . $$ Приравнивая и потенцируя, придём к уравнению <WRAP center round box 60%> $$ r=C\sqrt{\sin^{2}\theta|\cos\theta|}, $$ </WRAP> описывающему силовые линии.