Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 1.44. Найти потенциал электрического поля на больших расстояниях от линейного октуполя. {{:electrodynamics:выделение_051.jpg?direct&200|}} ----- Рассмотрим сферическую систему координат с нулевым углом $\theta$ по оси Z, тогда для линейного октуполя отсутствует зависимость потенциала от угла $\phi$. Разложим выражение $\frac{1}{\sqrt{(z-b)^2+r^2}}$, где $r^2=x^2+y^2$, в [[https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора|ряд Тейлора]] по малому параметру $b \ll z$: $$ \frac{1}{\sqrt{(z-b)^2+r^2}}\approx \frac{1}{R}+\frac{zb}{R^{3}}+\frac{\left(-R^{2}+3z^{2}\right)b^{2}}{2R^{5}}+\frac{\left(-3R^{2}+5z^{2}\right)zb^{3}}{2R^{7}}+O(b^4). $$ В линейном октуполе, как легко увидеть, суммарный заряд и дипольный момент равны нулю. Чуть сложнее убедиться, что и [[t06|квадрупольный момент,]] так же равен нулю $$ D_{zz}=D_{xx}=D_{yy}=D_{xy}=D_{xz}=0, $$ следовательно, в сумме $$ \varphi = \frac{-q}{\sqrt{z^2+r^2}}+\frac{3q}{\sqrt{(z-a)^2+r^2}}-\frac{3q}{\sqrt{(z-2a)^2+r^2}}+\frac{q}{\sqrt{(z-3a)^2+r^2}} $$ после подстановки разложения в ряд нужно обращать только на члены содержащие $(\frac aR)^3$, так как члены не содержащие $a$ входят в суммарный заряд, члены с $\frac aR$ входят в дипольный момент, а с $(\frac aR)^2$ --- квадрупольный. Тогда после подстановки: $$ \varphi \approx 3\frac{qa^{3}z\left(5z^{2}-3R^{2}\right)}{R^{7}}. $$ Заменив $z=R\cos\theta$ придём к окончательному резульату: <WRAP center round box 60%> $$ \varphi = 3\frac{qa^{3}\cos\theta\left(5\cos^{2}\theta-3\right)}{R^{4}}. $$ </WRAP>