Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 182. Ёмкости двух уединённых проводников равны $C_1$ и $C_2$. Эти проводники находятся в однородном диэлектрике с проницаемостью $\varepsilon $ вакууме на расстоянии $r,$ большом по сравнению с их собственными размерами. Показать, что ёмкостные коэффициенты системы равны: $$ c_{11}=C_1\bigl(1+\frac{C_1C_2}{r^2}\bigr), \hspace{10pt} c_{12}=-\frac{C_1C_2}{r}, \hspace{10pt} c_{22}=C_2\bigl(1+\frac{C_1C_2}{r^2}\bigr). $$ УКАЗАНИЕ. Определить сначала [[t08|потенциальные коэффициенты]] с точностью до величины $\frac 1r.$ ----- Так как расстояния r между проводниками много больше их размеров, то можно рассматривать их как точечные, тогда потенциал первого шара: $$ \varphi_{1}=\frac{q_{1}}{C_{1}}+\frac{q_{2}}{r} $$ второго $$ \varphi_{2}=\frac{q_{1}}{r}+\frac{q_{2}}{C_{2}}. $$ Таким образом матрица потенциальных коэффициентов: $$ S=\left(\begin{array}{cc} C_{1}^{-1} & r^{-1}\\ r^{-1} & C_{2}^{-1} \end{array}\right) . $$ Ёмкостная матрица будет ей обратная $$ C=S^{-1}=\left(\begin{array}{cc} C_{1}^{-1} & r^{-1}\\ r^{-1} & C_{2}^{-1} \end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{C_{1}^{-1}C_{2}^{-1}-r^{-2}}\left(\begin{array}{cc} C_{2}^{-1} & -r^{-1}\\ -r^{-1} & C_{1}^{-1} \end{array}\right), $$ тогда с учётом малости $\frac 1r$: $$ \frac{1}{C_{1}^{-1}C_{2}^{-1}-r^{-2}}=\frac{C_{1}C_{2}}{1-\frac{C_{1}C_{2}}{r^2}}\approx C_{1}C_{2}\left(1+\frac{C_{1}C_{2}}{r^2}\right). $$ Оставив только первые и вторые степени по $r$, действительно получим, что: $$ c_{11}=C_1\bigl(1+\frac{C_1C_2}{r^2}\bigr), \hspace{10pt} c_{12}=-\frac{C_1C_2}{r}, \hspace{10pt} c_{22}=C_2\bigl(1+\frac{C_1C_2}{r^2}\bigr). $$