Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 2.11. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется по закону $\varepsilon=\varepsilon_0\frac{x+a}{a}$, где $a$ --- расстояние между обкладками, ось $X$ направлена перпендикулярно обкладкам, площадь которых $S$. Пренебрегая краевыми эффектами, найти емкость такого конденсатора и распределение в нем связанных зарядов, если к обкладкам приложена разность потенциалов $U$. ----- Поскольку в объеме диэлектрика нет свободных зарядов, то в самом диэлектрике справедливо уравнение \[ \text{div}\vec D = 4\pi \rho_\text{своб}=0. \] Так как в задаче мы пренебрегаем краевыми эффектами, то все величины зависят в ней только от \(x\), а компоненты поля \(\vec E\;\; \text{и}\;\;\vec D\) имеют только \(x\)-компоненту, мы далее будем писать только \(E\;\; \text{и}\;\;D \). Из приведенного выше уравнения следует, что \(D= const \). Из граничного условия для границы металл-диэлектрик \[ D_{2n}-D_{1n} =4\pi \sigma_{\text{своб}} \] для нормали из металла в диэлектрик с учетом того, что \(D_{1n}=0\), получаем \[ D=4\pi\sigma_{\text{своб}}=\frac{4\pi Q}S, \] откуда \[ E=\frac{D}{\varepsilon}=\frac{4\pi Q a}{\varepsilon_0 S(x+a)}. \] Для того чтобы получить напряжение на конденсаторе необходимо проинтегрировать поле $E$: $$ U =\int \limits_0^a E dx =\int \limits_0^a \frac{4\pi Q a }{\varepsilon_0 S(x+a)} dx = \frac{4\pi Q a }{\varepsilon_0 S}\int\limits_0^a {\frac{dx}{x + a}} = $$ $$ \frac{4\pi Q a}{\varepsilon_0 S} \ln \Bigl. {\left( {x + a} \right)} \Bigr|_0^a = \frac{4\pi Q a}{\varepsilon_0 S} \left( \ln (2a) - \ln (a) \right) = \frac{4\pi Q a \ln 2}{\varepsilon_0 S}. $$ Теперь вычислим ёмкость конденсатора: \[ C = \frac QU= \frac{{\varepsilon _0 S}}{{4\pi a\ln 2}}. \] Плотность связанных зарядов в объеме определяется соотношением \[ \text{div} E=4\pi \rho_\text{связ}, \] откуда \[ \rho_\text{связ} = -\frac{{CUa}}{{\varepsilon _0 S}}\frac{1}{{\left( {x + a} \right)^2 }} \] А плотность связанных зарядов на границах металл-диэлектрик определяется из соотношения на границе \[ \sigma_\text{связ}|_{x=0}=\frac{E_{1n}-D_{1n}}{4\pi}=-\frac{CU}{S}\left(1-\frac{1}{\varepsilon_0}\right), \] а \[ \sigma_\text{связ}|_{x=a}=-\frac{E_{1n}-D_{1n}}{4\pi}=\frac{CU}{S}\left(1-\frac{1}{2\varepsilon_0}\right). \]