Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 2.13. Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок $a$ и $b$ диэлектрическая проницаемость меняется по закону \[ \varepsilon \left( r \right) = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon _1, \mbox{ при } a \le r < c \\ \varepsilon _2, \mbox{ при } c \le r \le b \\ \end{array} \right., \] где $a<c<b$. Найти емкость конденсатора, распределение зарядов $\sigma_\text{связ}$ и полный связанный заряд в диэлектрике. ----- Предложенную систему можно представить в виде двух последовательно соединенных сферических конденсаторов. Полная ёмкость которых определяется соотношением \[ \frac{1}{C}=\frac{1}{C_{a-c}}+\frac{1}{C_{c-b}}. \] Для нахождения емкости одного сферического конденсатора рассмотрим 2 вложенные одну в другую концентрические сферы с радиусами \(R_1\) и \(R_2\), \((R_1<R_2)\). Пространство между ними заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\). Предположим, что вектор электростатической индукции \(\vec D\) в шаровом слое между обкладками имеет только радиальную компоненту (в силу сферической симметрии задачи), и она выражается в виде \[ D=\frac{aQ_1}{r^2}, \] где \(Q_1\)-- заряд внутренней обкладки. Граничное условие на границе радиуса \(R_1\) можно рассматривать как следствие теоремы Гаусса. \[ D_{1n}=D|_{r=R_1}=4\pi\sigma=\frac{Q_1}{R_1^2}, \] откуда следует \(a=1\). Таким образом, в зазоре между сферическими поверхностями \[ D=\frac{Q_1}{r^2},\;\;E=\frac{Q_1}{\varepsilon r^2}. \] Разность потенциалов между обкладками равна \[ \Delta \varphi=\int\limits_{R_1}^{R_2} E d r=\frac{Q_1}{\varepsilon} \int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{ d r}{r^2}=\frac{Q_1}{\varepsilon}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right). \] Таким образом, емкость сферического конденсатора \[ C=\frac{Q_1}{\Delta \varphi}=\frac{\varepsilon}{\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}}. \] Откуда получаем емкость 2-х последовательно соединенных конденсаторов \[ C = \left[ {\frac{1}{{\varepsilon _1 }}\left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{c}} \right) + \frac{1}{{\varepsilon _2 }}\left( {\frac{1}{c} - \frac{1}{b}} \right)} \right]^{ - 1}. \] Распределение связанных зарядов получается из описанного выше решения с учетом того, что \(D=\frac{Q_1}{r^2}\) во всем пространстве между обкладками, а электрическое поле в области \(a< r< c E=D/\varepsilon_1\), а в области \(с< r< и E=D/\varepsilon_2\). Тогда \[ \begin{split} \sigma_\text{связ} \left( a \right)& =\frac{E_{1n}-D_{1n}}{4\pi}=-\frac{Q_1}{{4\pi a^2 }}\left( {1- \frac{1}{{\varepsilon _1 }}} \right),\\ \sigma_\text{связ} \left(c \right)& =\frac{E_{c+}-E_{c-}}{4\pi}=\frac{Q_1}{{4\pi c^2 }}\left( {\frac{1}{{\varepsilon _2 }} - \frac{1}{{\varepsilon _1 }}} \right),\\ \sigma _\text{связ} \left( b \right) &=\frac{Q_1}{{4\pi b^2 }}\left( {1 - \frac{1}{{\varepsilon _2 }}} \right). \end{split} \] где $Q_1$ -- заряд внутренней обкладки.