Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 2.6. От прямой, на которой находится точечный заряд $q$, расходятся веерообразно три полуплоскости, образующие три двугранных угла $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ таких, что $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=2\pi$. Пространство внутри каждого из углов заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью соответственно $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ Определить потенциал, напряженность и индукцию электрического поля в трех областях. ----- Аналогично использованному в задаче [[res2.4|2.4]] методу предположим, что общий вид решения для потенциала \[\varphi_i=a_i \frac{q}{r}.\] Из граничных условий равенства потенциала на соответствующих границах получаем как и ранее \[\varphi _1 = \varphi _2 = \varphi _3\] Единственный неизвестный коэффициент в выражении \(\varphi_i = \frac{{cq}}{r}\) находится из теоремы Гаусса \[ \int {(\vec D \cdot d \vec s) = 4\pi q}. \] Площадь сферы радиуса \(R\) равна \(S = 4\pi R^2 \) Для определения площади сегмента на радиусе \(R\) введем ось \(z\) вдоль линии раздела диэлектриков, тогда площадь каждого сегмента будет определяться углом $\alpha _i$ \[ S_{{сег}_i} = \frac{\alpha _i}{{2\pi }}4\pi R^2=2\alpha _i R^2. \] Интеграл по поверхности при вычислении потока \(\vec D\) разбивается на три части и в итоге получаем \[ 2\left( {D_{1n} \alpha _1 + D_{2n} \alpha _2 + D_{3n} \alpha _3 } \right)R^2 = 4\pi q \] \[ 2c\left( {\varepsilon _1 \alpha _1 + \varepsilon _2 \alpha _2 + \varepsilon _3 \alpha _3 } \right)q = 4\pi q. \] Тогда константа \(c\) равна \[ c=\frac{2\pi }{{\varepsilon _1 \alpha _1 + \varepsilon _2 \alpha _2 + \varepsilon _3 \alpha _3 }} \] И окончательно получаем \[ \begin{split} \varphi _i &= \frac{{2\pi q}}{{\varepsilon _1 \alpha _1 + \varepsilon _2 \alpha _2 + \varepsilon _3 \alpha _3 }}\frac{1}{r},\\ \vec E_i & = \frac{{2\pi q}}{{\varepsilon _1 \alpha _1 + \varepsilon _2 \alpha _2 + \varepsilon _3 \alpha _3 }}\frac{{\vec r}}{{r^3 }},\\ \vec D_i &= \varepsilon _i \vec E_i, \;\;\text{где} \;\;i=1,2,3. \end{split} \]