Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 4.22. Найти магнитный момент однородно заряженного шара (сферы), вращающегося вокруг одного из своих диаметров с угловой скоростью $\omega$. Заряд шара --- $e$, радиус --- $a$. ----- ==== а) ==== Найдем магнитный момент сферы. Возьмем на поверхности сферы узкий поясок, заключенный между углами $\,\theta$ и $\,\theta+\,d\theta$. Заряд, вращаясь вместе {{:electrodynamics:выделение_150.png?direct&200 |}} со сферой, создает ток, величина которого на выделенном пояске $$dJ= \frac{dq}{dt} =\frac{\sigma dS}{dt} =\frac{\sigma (a^2\sin \theta d\theta d\alpha )}{dt} = \frac{1}{4\pi}Q\omega \sin\theta\,d\theta\,,$$ где $\omega =\frac{d\alpha}{dt}$ --- угловая скорость вращения, $\,\sigma=Q/4\pi a^2$ --- поверхностная плотность заряда. Магнитный момент этого тока $$d\vec{m}=\frac{dJ\,\vec{s}}{c}= \frac{\pi a^2Q\vec{\omega}}{4\pi c}\sin^3\theta\,d\theta\,.$$ Интегрируя по $\,\theta$, находим магнитный момент всей сферы: $$\vec{m}=\int d\vec{m}= \frac{Qa^2\vec{\omega}}{4c} \int\limits_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta= \frac{Qa^2\vec{\omega}}{3c}\,.$$ ==== б) ==== Найдем магнитный момент равномерно заряженного вращающегося вокруг одного из своих диаметров шара. Используя результат предыдущей задачи, магнитный момент тонкого шарового слоя радиуса $\,R$ толщины $\,dR$ выразится так: $$d\vec{m}=\frac{\vec{\omega}R^2}{3c}\,dQ\,,$$ где $\,dQ$ -- заряд шарового слоя. Так как $$dQ=\frac{Q}{4\pi a^3/3}\cdot 4\pi R^2\,dR= \frac{3QR^2\,dR}{a^3}\,,$$ то магнитный момент шара будет равен $$\vec{m}=\frac{Q\vec{\omega}}{ca^3} \int\limits_0^a R^4\,dR=\frac{Qa^2}{5c}\vec{\omega}\,.$$