Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 6.10. Найти индуктивность соленоида с числом витков $N\gg 1$, намотанного тонким слоем на шарообразный сердечник радиуса $a$ с магнитной проницаемостью $\mu$ так, что витки лежат вдоль линий $\theta=\text{const}$, а плотность намотки меняется по закону \[ n\left( \theta \right) = \frac{N}{{2a}}\sin \theta,\,\, \left( {\int\limits_0^\pi {n\left( \theta \right)ad\theta = N} } \right). \] ----- {{:electrodynamics:выделение_162.png?direct&150 |}} Поле $\,\vec{H}_2$ вне соленоида --- поле магнитного диполя, магнитный момент $\,\vec{m}$ которого создается соленоидом (поверхностные токи) и индуцированным моментом шара $$ \vec{H}_2=\frac{3\vec{r}(\vec{m}\,\vec{r})}{r^5}- \frac{\vec{m}}{r^3}\,.$$ Направление вектора $\,\vec{m}$ перпендикулярно плоскостям витков. Поле $\vec{H}_1$ внутри шара однородно, также как для намагниченного шара (см. [[res5.9|задачу 5.9]]). Тангенциальные составляющие $\,H_{\tau}$ на поверхности шара терпят разрыв из--за поверхностных токов, нормальные составляющие вектора магнитной индукции непрерывны, поэтому $$\frac{m}{a^3}\sin\theta+ H_1\sin \theta=\frac{4\pi}{c} \frac{JN}{2a}\sin\theta\,,$$ $$\mu H_1\cos\theta=\frac{3m\cos\theta}{a^3}- \frac{m\cos\theta}{a^3}=\frac{2m\cos\theta}{a^3}\,.$$ Решая систему уравнений, находим $$H_1=\frac{4\pi NJ}{c\,(\mu+2)a}\,.$$ Поток вектора магнитной индукции через $\,dn$ витков, расположенных под углом $\,\theta$, равен $$d\Phi=\mu H\pi a^2\sin^2 \theta\, n(\theta)\,a\,d\theta\,.$$ Полный поток через все $\,N$ витков $$\Phi=\frac{2\pi^2N^2Ja}{c}\;\frac{\mu}{\mu+2} \int\limits_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta= \frac{8\pi^2N^2Ja\mu}{3c\,(\mu+2)}\,.$$ Значит, $$L=\frac{8\pi^2}{3}\;\frac{\mu}{\mu+2}\;N^2a.$$ Вычисление индуктивности через энергию системы в данном случае заметно сложнее из-за трудности вычисления энергии вне соленоида: $$\frac{LJ^2}{2c^2}=W_1+W_2,$$ где $W_1=\mu H_1^2\,\frac{4}{3}\pi a^3$ есть энергия внутри соленоида с учетом однородности поля $\vec{H}_1$, а энергия вне соленоида $$W_2=\frac{1}{8\pi}\int H_2^2\,dv,$$ где $$ \vec{H}_2=\frac{3\vec{r}(\vec{m}\,\vec{r})}{r^5}- \frac{\vec{m}}{r^3}\,,\qquad m=m_z=\frac{2\pi JNa^2}{c(\mu+2)}.$$