Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 6.2. Вычислить внутреннюю часть самоиндукции единицы длины прямолинейного провода круглого сечения радиуса $a$. Магнитная проницаемость провода $\mu$. ----- {{:electrodynamics:выделение_073.jpg?direct&150 |}} Предположим, что по проводнику течет постоянный ток $J$. Он создает магнитное поле, которое можно найти, воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора $\vec{H}$: \begin{equation} \oint H_\ell\,d\ell=\frac{4\pi}{c}\int\limits_{S} (\vec{j}\,d\vec{s}), \end{equation} где $\vec{j}$ --- плотность тока. Ввиду аксиальной симметрии напряженность магнитного поля зависит только от расстояния до оси провода и имеет только $\alpha$-ю составляющую $\,H_{\alpha}$ в цилиндрической системе координат ($z, r, \alpha$) с осью $\,Z$ по оси тока. Поэтому, взяв циркуляцию вектора $\,\vec{H}$ по окружности радиуса $\,r<a\,$ с центром на оси провода, найдем $$\oint H_\ell\,d\ell=H_{\alpha}\cdot2\pi r.$$ Поскольку $j=\text{const}$, то правая часть первого уравнения $$\frac{4\pi}{c}\int\limits_{S} (\vec{j}\,d\vec{s})=\frac{4\pi}{c}j\cdot\pi r^2= \frac{4\pi}{c}\frac{J}{a^2}r^2\,.$$ Окончательно находим $$H_{\alpha}=\frac{2J}{ca^2}r\, \qquad \mbox{при}\qquad r\leq a\,.$$ Зная распределение напряженности магнитного поля $\,\vec{H}$, находим энергию магнитного поля, запасенную внутри единицы длины провода. Она равна \begin{equation} W=\frac{1}{8\pi}\int(\vec{B}\,\vec{H})\,dv= \frac{\mu}{8\pi}\int H^2\,dv=\frac{\mu J^2}{4c^2}\,. \end{equation} Здесь интеграл берется по объему проводника, и учтено, что $\vec{B}~=~\mu\vec{H}$. С другой стороны, магнитная энергия /* % проводника с током $\,J$ выражается через коэффициент % самоиндукции проводника следующим образом: */ $W=LJ^2/2c^2.$ Сравнивая с последним выражением, находим $\,L=\frac 12\mu .$