Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 6.3. Вычислить самоиндукцию единицы длины коаксиального кабеля, жила которого имеет радиус $R_0$, а оболочка --- внутренний радиус $R_1$, наружный --- $R_2$. Магнитная проницаемость проводов --- $\mu_1$, изоляции между ними --- $\mu_2$. ----- {{:electrodynamics:выделение_159.png?direct&150 |}} В коаксиальном кабеле ток течет по центральной жиле радиуса $\,R_0$ и возвращается по оболочке, внутренний и внешний радиусы которой равны $\,R_1$ и $\,R_2$. Пусть в кабеле течет ток $\,J$. Тогда магнитное поле внутри центральной жилы равно (см. [[res6.2|задачу 6.2]]): $$H_{\alpha}=\frac{2J}{cR_0^2}\,r\, \qquad \mbox{при}\qquad r\leq R_0\,.$$ Ввиду аксиальной симметрии проводников напряженность магнитного поля также обладает аксиальной симметрией. Применяя теорему о циркуляции вектора~$\vec{H}$ (см.~6.2), находим, что для: а) $R_0\leq r\leq R_1$ $$ H_{\alpha}\cdot2\pi r=4\pi J/c,$$ откуда $$H_{\alpha}=\frac{2J}{c\,r}\,;$$ б) $R_1\leq r\leq R_2$ $$ H_{\alpha}\cdot2\pi r=\frac{4\pi J}{c}- \frac{4\pi J}{c}\;\frac{r^2-R_1^2}{R_2^2-R_1^2},$$ откуда $$H_{\alpha}=\frac{2J}{c\,r}\,\frac{R_2^2}{R_2^2-R_1^2}- \frac{2Jr}{c\,(R_2^2-R_1^2)}\,.$$ При $r>R_2\;\;H=0$. Энергия, запасенная в единице длины кабеля: \[ \begin{split} W&=\frac{1}{8\pi}\int(\vec{B}\,\vec{H})\,dv= \frac{\mu_1J^2}{4c^2}+ \frac{\mu_2}{8\pi}\int\limits_{R_0}^{R_1} \bigg(\frac{2J}{cr}\bigg)^2\,2\pi r\,dr+\\ &+\frac{\mu_1}{8\pi}\int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{(2J)^2}{c^2(R_2^2-R_1^2)^2} \bigg(\frac{R_2^2}{r}-r\bigg)^2\,2\pi r\,dr=\\ &=\frac{\mu_2J^2}{c^2}\ln\frac{R_1}{R_0} + \frac{\mu_1J^2R_2^4\ln (R_2/R_1)}{c^2(R_2^2-R_1^2)^2}- \frac{\mu_1J^2R_2^2}{2c^2(R_2^2-R_1^2)}, \end{split} \] где $\,\vec{B}=\mu\vec{H}$. С другой стороны, $\;W=LJ^2/2c^2$, где $\,L$ -- индуктивность единицы длины кабеля. Сравнивая энергии, получаем для коэффициента самоиндукции выражение $$L=2\mu_2\ln\frac{R_1}{R_0} + \frac{2\mu_1R_2^4}{(R_2^2-R_1^2)^2}\ln\frac{R_2}{R_1}- \frac{\mu_1R_2^2}{R_2^2-R_1^2}\,.$$