Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 6.42. Круглая проволочная петля радиуса $a$, находящаяся в постоянном магнитном поле $H_0$, вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг своего диаметра, перпендикулярного $\vec{H}_0$. Найти силу тока в петле, тормозящий момент и среднюю мощность, которая требуется для поддержания вращения. Сопротивление петли --- $R$, индуктивность --- $L$. ----- Эдс, которая возникает во вращающейся рамке, согласно закону Фарадея равна \[ {\mathcal E} = - \frac{1}{c}\frac{{d\Phi }}{{dt}} = - \frac{1}{c}H_0 \frac{{dS}}{{dt}} = - \frac{1}{c}H_0 \pi a^2 \frac{d}{{dt}}\cos \omega t=\frac{H_0 \pi a^2 \omega}{c}\sin \omega t. \] Закон Кирхгофа для замкнутого контура (кольцо обладает активным сопротивлением $R$ и индуктивностью $L$) записывается в виде \[ {\mathcal E} = \frac{{L\dot I}}{{c^2 }} + IR, \] или \[ \frac{L}{c^2}\dot I + RI = \mathcal E= {\mathcal E}_0 \sin \omega t, \] где \[{\mathcal E}_0=\frac{H_0 \pi a^2 \omega}{c}.\] При решении подобных линейных дифференциальных уравнений можно для простоты заменить \(\sin \omega t\) на экспоненту, потом в ответе взять мнимую часть. \[ \frac{L}{c^2}\dot I + RI = {\mathcal E}_0 e^{i\omega t}. \] Будем искать стационарное решение в виде \[ I = I_1 \cdot e^{i\omega t}. \] Подставив это решение в исходное уравнение получим комплексную амплитуду тока \[ I_1 \left( {R + \frac{{i\omega L}}{{c^2 }}} \right) = {\mathcal E}_0, \] или \[ I_1 = \frac{{{\mathcal E}_0 }}{{R + \frac{{i\omega L}}{{c^2 }}}}. \] Для нахождения действительной и мнимой частей домножим числитель и знаменатель на комплексносопряженное выражение, и тогда комплексную амплитуду тока можно представить в тригонометрической форме \[ I_1 = \frac{{{\mathcal E}_0 \left( {R - \frac{{i\omega L}}{{c^2 }}} \right)}}{{\left( {R + \frac{{i\omega L}}{{c^2 }}} \right)\left( {R - \frac{{i\omega L}}{{c^2 }}} \right)}} = \frac{{{\mathcal E}_0 }}{{R^2 + \frac{{\omega ^2 L^2 }}{{c^2 }}}}\left( {R - \frac{{i\omega L}}{{c^2 }}} \right) = = \frac{{{\mathcal E}_0 }}{{\sqrt {R^2 + \frac{{\omega ^2 L^2 }}{{c^4 }}} }}e^{i\varphi }, \] где \[ {\mathop{\rm tg}\nolimits} \varphi = \frac{{\omega L}}{{c^2 R}}, \] а, следовательно, \[ I = \frac{{{\mathcal E}_0 }}{{\sqrt {R^2 + \frac{{\omega ^2 L^2 }}{{c^4 }}} }}e^{i\omega t - i\varphi }. \] Выделяя, как было упомянуто выше, мнимую часть, получим \[ I = \frac{{\pi a^2 \omega H_0 }}{c{\sqrt {R^2 + \frac{{\omega ^2 L^2 }}{{c^4 }}} }}\sin \left( {\omega t - \varphi } \right)=I_0 \sin \left( {\omega t - \varphi } \right). \] Для вращения кольца с постоянной скоростью необходимо прикладывать момент сил, равный мгновенному значению тормозящего момента. Для вычисления момента сил, действующего на виток с током в однородном магнитном поле рассмотрим (следуя Сивухину Д.В., Общий курс физики. Электричество, том III, стр.209.) плоский виток с током, лежащий в плоскости магнитного поля. Легко показать, что момент сил, действующий на виток площади \(S\) по которому течет ток \(I\), равен \[ \vec N=\left[\vec M \times \vec H\right],\;\;\;\text{где}\;\;\; \vec M =\frac{I}{c}\vec S. \] Еще проще показать, что если этот виток с током перпендикулярен магнитному полю, то момент равен нулю. Поскольку при любом положении плоскости витка по отношению к магнитному полю можно разложить магнитное поле на перпендикулярную (не дающую вклада в момент) и параллельную составляющую магнитного поля, то очевидно, что приведенная выше формула справедлива при любой ориентации плоскости витка и однородного магнитного поля. Используя это выражение для нашей задачи можно записать \[ N=\frac{\pi a^2}{c} I H_0\sin\alpha, \] где \(\alpha\) --- угол между направлением \(\vec H\) и нормалью к плоскости витка, \(\alpha=\omega t\). В итоге получаем \[ N=\frac{\pi a^2}{c} I_0 H_0\left(\cos\varphi-\cos(2\omega t-\varphi)\right). \] Средняя мощность, выделяемая в проводнике (джоулево тепло) определяется соотношением \[ \overline W=\overline{I^2 R}=\frac{1}{2}I_0^2 R. \]