Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== Решение задачи ===== **Условие:** Маятник Максвелла представляет собой массивный диск радиусом \(R\) и массой \(m\), туго насаженный на ось радиусом \(r\). Ось подвешена на двух предварительно намотанных на неё нитях. При отпускании маятник совершает возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном вращении диска. Не учитывая силы сопротивления и момент инерции оси, определить: 1) ускорение поступательного движения маятника; 2) силу натяжения нити. **Дано:** * Масса диска: \(m\) * Радиус диска: \(R\) * Радиус оси: \(r\) * Ускорение свободного падения: \(g\) **Найти:** * Ускорение \(a\) поступательного движения * Силу натяжения одной нити \(T\) --- ==== Ход решения ==== === Физическая модель === Маятник Максвелла совершает плоское движение: центр масс опускается поступательно, а диск вращается вокруг своей оси. Нити намотаны на ось радиусом \(r\), поэтому при опускании они разматываются, и линейное ускорение центра масс \(a\) связано с угловым ускорением диска \(\varepsilon\) соотношением: $$a = \varepsilon r.$$ === Силы и моменты === На маятник действуют: * сила тяжести \(mg\), приложенная к центру масс (вниз); * силы натяжения двух нитей \(T\) (каждая), приложенные к оси в точках касания нитей и направленные вертикально вверх. Суммарная сила натяжения \(2T\). === Уравнение поступательного движения === Проекция на вертикальную ось (вниз): $$ma = mg - 2T. \tag{1}$$ === Уравнение вращательного движения === Момент инерции диска относительно его оси (ось тонкая, её моментом пренебрегаем): $$I = \frac{1}{2} m R^2.$$ Момент сил натяжения относительно центра масс: каждая нить создаёт момент \(T \cdot r\), оба момента направлены одинаково (при опускании диск вращается так, что нити разматываются). Суммарный момент: $$M = 2T r.$$ Уравнение вращения: $$I \varepsilon = 2T r. \tag{2}$$ === Связь ускорений === Подставляем \(\varepsilon = a/r\) в (2): $$\frac{1}{2} m R^2 \cdot \frac{a}{r} = 2T r \quad \Rightarrow \quad T = \frac{m R^2 a}{4 r^2}. \tag{3}$$ === Определение ускорения === Подставим (3) в (1): $$ma = mg - 2 \cdot \frac{m R^2 a}{4 r^2} = mg - \frac{m R^2 a}{2 r^2}.$$ Сократим на \(m\) (при \(m \neq 0\)): $$a = g - \frac{R^2 a}{2 r^2} \quad \Rightarrow \quad a \left(1 + \frac{R^2}{2 r^2}\right) = g.$$ Отсюда: $$a = \frac{g}{1 + \frac{R^2}{2 r^2}} = \frac{2 r^2 g}{R^2 + 2 r^2}. \tag{4}$$ === Определение силы натяжения === Из (1) выразим \(T\) через \(a\): $$2T = m(g - a) \quad \Rightarrow \quad T = \frac{m(g - a)}{2}.$$ Подставим (4): $$g - a = g - \frac{2 r^2 g}{R^2 + 2 r^2} = g \left(1 - \frac{2 r^2}{R^2 + 2 r^2}\right) = \frac{g R^2}{R^2 + 2 r^2}.$$ Тогда: $$T = \frac{m}{2} \cdot \frac{g R^2}{R^2 + 2 r^2} = \frac{m g R^2}{2 (R^2 + 2 r^2)}. \tag{5}$$ --- ==== Ответ ==== 1. Ускорение поступательного движения маятника: $$a = \frac{2 r^2 g}{R^2 + 2 r^2}.$$ 2. Сила натяжения каждой нити: $$T = \frac{m g R^2}{2 (R^2 + 2 r^2)}.$$