Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== Решение задачи ===== **Условие:** Сплошной цилиндр радиуса \(R\) раскрутили вокруг оси до угловой скорости \(\omega\) и затем поместили в угол между стеной и полом. Коэффициент трения \(\mu\). Определить время, в течение которого цилиндр будет вращаться до остановки. **Дано:** * Радиус цилиндра: \(R\) * Начальная угловая скорость: \(\omega\) * Коэффициент трения: \(\mu\) * Ускорение свободного падения: \(g\) * Масса цилиндра: \(m\) (в ответе сократится) **Найти:** Время \(t\) до остановки вращения. --- ==== Ход решения ==== После помещения в угол цилиндр касается вертикальной стены и горизонтального пола. Будем считать, что в начальный момент его центр масс неподвижен и находится на расстоянии \(R\) от каждой поверхности. При вращении возникают силы трения скольжения, которые создают тормозящий момент. Предполагаем, что цилиндр остаётся в контакте с обеими поверхностями, а его центр масс остаётся неподвижным (это самосогласованное решение, удовлетворяющее уравнениям равновесия). На цилиндр действуют: * сила тяжести \(mg\) (вертикально вниз); * нормальная реакция пола \(N_1\) (вертикально вверх); * нормальная реакция стены \(N_2\) (горизонтально от стены); * сила трения на полу \(F_1 = \mu N_1\) (направлена горизонтально к стене, так как нижняя точка скользит от стены); * сила трения на стене \(F_2 = \mu N_2\) (направлена вертикально вверх, так как точка касания стены скользит вниз). === Уравнения движения центра масс === Так как центр неподвижен, его ускорение равно нулю: $$0 = N_2 - F_1 = N_2 - \mu N_1, \tag{1}$$ $$0 = N_1 + F_2 - mg = N_1 + \mu N_2 - mg. \tag{2}$$ Из (1) получаем \(N_2 = \mu N_1\). Подставляя в (2): $$N_1 + \mu^2 N_1 = mg \quad \Rightarrow \quad N_1 = \frac{mg}{1+\mu^2}, \quad N_2 = \frac{\mu mg}{1+\mu^2}.$$ Тогда силы трения: $$F_1 = \mu N_1 = \frac{\mu mg}{1+\mu^2}, \quad F_2 = \mu N_2 = \frac{\mu^2 mg}{1+\mu^2}.$$ === Уравнение вращения === Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси \(I = \frac{1}{2} m R^2\). Моменты сил трения относительно центра: * от \(F_1\): плечо \(R\), направление создаёт момент, тормозящий вращение: \(M_1 = -R F_1\); * от \(F_2\): \(M_2 = -R F_2\). Суммарный момент: $$M = -R (F_1 + F_2) = -R \cdot \frac{\mu mg (1+\mu)}{1+\mu^2}.$$ Уравнение динамики вращения: $$I \varepsilon = M \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} m R^2 \frac{d\omega}{dt} = -R \cdot \frac{\mu mg (1+\mu)}{1+\mu^2}.$$ Сокращая на \(mR\) (при \(R \neq 0\)): $$\frac{1}{2} R \frac{d\omega}{dt} = -\frac{\mu g (1+\mu)}{1+\mu^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{d\omega}{dt} = -\frac{2\mu g (1+\mu)}{R(1+\mu^2)}.$$ Угловое ускорение постоянно, поэтому зависимость \(\omega(t)\) линейна: $$\omega(t) = \omega_0 - \frac{2\mu g (1+\mu)}{R(1+\mu^2)} \, t.$$ === Время до остановки === В момент остановки \(\omega(t)=0\), откуда $$t = \frac{\omega_0 R (1+\mu^2)}{2\mu g (1+\mu)}.$$ --- ==== Ответ ==== Время, в течение которого цилиндр будет вращаться: $$\boxed{t = \frac{\omega R (1+\mu^2)}{2\mu g (1+\mu)}}.$$