Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ====== Решения задач 5-8 ====== ===== Задача 5 ===== Барьер задан потенциалом $$ U(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ U_0, & x\ge 0. \end{cases} $$ Требуется определить волновые функции при различных значениях энергии $E$ и найти число частиц в забарьерной области при $E<U_0$. Масса частицы равна $m$, плотность потока частиц в падающем пучке равна $\rho$. Рассматриваем стационарное уравнение Шредингера: $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\psi''(x)+U(x)\psi(x)=E\psi(x). $$ ---- ==== 1. Случай $E>U_0$ ==== В области $x<0$ потенциал равен нулю, поэтому $$ \psi_I(x)=Ae^{ik_1x}+Be^{-ik_1x}, \qquad k_1=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}. $$ В области $x\ge 0$: $$ \psi_{II}(x)=Ce^{ik_2x}, \qquad k_2=\frac{\sqrt{2m(E-U_0)}}{\hbar}. $$ Здесь оставлена только волна, идущая вправо. Условия непрерывности при $x=0$: $$ A+B=C, $$ $$ ik_1(A-B)=ik_2C. $$ Отсюда получаем $$ \frac{B}{A}=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}, $$ $$ \frac{C}{A}=\frac{2k_1}{k_1+k_2}. $$ Следовательно, волновая функция имеет вид $$ \psi(x)= \begin{cases} A\left(e^{ik_1x}+\dfrac{k_1-k_2}{k_1+k_2}e^{-ik_1x}\right), & x<0,\\[2ex] A\,\dfrac{2k_1}{k_1+k_2}e^{ik_2x}, & x\ge 0. \end{cases} $$ Коэффициенты отражения и прохождения: $$ R=\left|\frac{B}{A}\right|^2=\left(\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}\right)^2, $$ $$ T=\frac{k_2}{k_1}\left|\frac{C}{A}\right|^2=\frac{4k_1k_2}{(k_1+k_2)^2}. $$ Нетрудно проверить, что $R+T=1$. ---- ==== 2. Случай $E=U_0$ ==== В области $x<0$: $$ \psi_I(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}, \qquad k=\frac{\sqrt{2mU_0}}{\hbar}. $$ В области $x\ge 0$ уравнение принимает вид $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\psi''=0, $$ поэтому $$ \psi_{II}(x)=Cx+D. $$ Поскольку при $x\to +\infty$ функция не должна неограниченно возрастать, берём $C=0$, то есть $$ \psi_{II}(x)=D. $$ Условия сшивки при $x=0$: $$ A+B=D, $$ $$ ik(A-B)=0. $$ Отсюда $$ A=B, $$ $$ D=2A. $$ Следовательно, $$ \psi(x)= \begin{cases} A(e^{ikx}+e^{-ikx})=2A\cos kx, & x<0,\\ 2A, & x\ge 0. \end{cases} $$ В этом случае имеет место полное отражение: $$ R=1, \qquad T=0. $$ ---- ==== 3. Случай $E<U_0$ ==== Теперь в области $x<0$: $$ \psi_I(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}, \qquad k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}. $$ В области $x\ge 0$ решение экспоненциальное. Вводим обозначение $$ \kappa=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}. $$ Тогда $$ \psi_{II}(x)=Ce^{-\kappa x}, $$ поскольку экспонента $e^{\kappa x}$ физически неприемлема. Условия непрерывности при $x=0$: $$ A+B=C, $$ $$ ik(A-B)=-\kappa C. $$ Отсюда $$ \frac{B}{A}=\frac{ik+\kappa}{ik-\kappa}, $$ $$ \frac{C}{A}=\frac{2ik}{ik-\kappa}. $$ Следовательно, $$ \psi(x)= \begin{cases} A\left(e^{ikx}+\dfrac{ik+\kappa}{ik-\kappa}e^{-ikx}\right), & x<0,\\[2ex] A\,\dfrac{2ik}{ik-\kappa}e^{-\kappa x}, & x\ge 0. \end{cases} $$ Так как $$ \left|\frac{B}{A}\right|=1, $$ получаем полное отражение: $$ R=1. $$ ---- ==== 4. Число частиц в забарьерной области при $E<U_0$ ==== Плотность потока для плоской волны $Ae^{ikx}$ равна $$ j=\frac{\hbar k}{m}|A|^2. $$ По условию нормировку выбираем так, чтобы поток падающего пучка имел классический вид: $$ j_{\text{in}}=\rho v, $$ где $$ v=\frac{\hbar k}{m}. $$ Следовательно, $$ \frac{\hbar k}{m}|A|^2=\rho\frac{\hbar k}{m}, $$ откуда $$ |A|^2=\rho. $$ Модуль коэффициента $C$: $$ |C|^2=|A|^2\,\frac{4k^2}{k^2+\kappa^2}=\rho\,\frac{4k^2}{k^2+\kappa^2}. $$ Но $$ k^2+\kappa^2=\frac{2mE}{\hbar^2}+\frac{2m(U_0-E)}{\hbar^2}=\frac{2mU_0}{\hbar^2}, $$ поэтому $$ |C|^2=\rho\,\frac{4E}{U_0}. $$ Плотность вероятности в забарьерной области: $$ |\psi_{II}(x)|^2=|C|^2e^{-2\kappa x}. $$ Число частиц в забарьерной области на единицу площади фронта пучка равно $$ N=\int_0^{\infty}|\psi_{II}(x)|^2\,dx=|C|^2\int_0^{\infty}e^{-2\kappa x}\,dx=\frac{|C|^2}{2\kappa}. $$ Отсюда $$ N=\frac{\rho}{2\kappa}\,\frac{4k^2}{k^2+\kappa^2}=\frac{2\rho k^2}{\kappa(k^2+\kappa^2)}. $$ Или, выражая через энергию, $$ N=\frac{2\rho E}{U_0\kappa}=\rho\,\frac{\hbar E}{U_0\sqrt{2m(U_0-E)}}. $$ Итак, $$ \boxed{N=\rho\,\frac{\hbar E}{U_0\sqrt{2m(U_0-E)}}}. $$ ===== Задача 6 ===== Потенциал задан так: $$ U(x)= \begin{cases} \infty, & x<0,\\ \dfrac12 m\omega^2x^2, & x\ge 0. \end{cases} $$ Это задача о гармоническом осцилляторе на полуоси. Из-за бесконечной стенки при $x<0$ необходимо выполнение условия $$ \psi(0)=0. $$ Для обычного одномерного гармонического осциллятора уровни энергии равны $$ E_n=\hbar\omega\left(n+\frac12\right), \qquad n=0,1,2,\dots $$ Но условию $\psi(0)=0$ удовлетворяют только нечётные собственные функции полного осциллятора. Следовательно, допустимы только нечётные значения $n$: $$ n=1,3,5,\dots $$ Положим $$ n=2s+1, \qquad s=0,1,2,\dots $$ Тогда $$ E_s=\hbar\omega\left(2s+1+\frac12\right)=\hbar\omega\left(2s+\frac32\right). $$ Следовательно, энергетические уровни равны $$ \boxed{E_s=\hbar\omega\left(2s+\frac32\right), \qquad s=0,1,2,\dots} $$ Первые несколько уровней: $$ \frac32\hbar\omega, \qquad \frac72\hbar\omega, \qquad \frac{11}{2}\hbar\omega, \dots $$ Собственные функции на полуоси $x\ge 0$ совпадают с нечётными функциями обычного гармонического осциллятора, но должны быть перенормированы: $$ \psi_s(x)=\sqrt{2}\,\psi^{(osc)}_{2s+1}(x), \qquad x\ge 0, $$ а при $x<0$: $$ \psi_s(x)=0. $$ ===== Задача 7 ===== Рассматривается периодический потенциал, образованный последовательностью прямоугольных барьеров высоты $U_0$ и ширины $b$, разделённых промежутками ширины $a$, в которых потенциал равен нулю. Период структуры равен $$ d=a+b. $$ Нужно получить общие соотношения для волновых функций и энергетического спектра. ---- ==== 1. Теорема Блоха ==== Для периодического потенциала собственные функции можно искать в виде функций Блоха: $$ \psi(x+d)=e^{iKd}\psi(x), $$ где $K$ — квазиволновое число. Аналогично, $$ \psi'(x+d)=e^{iKd}\psi'(x). $$ ---- ==== 2. Вид волновых функций в пределах одной ячейки ==== Выберем одну элементарную ячейку: $$ 0<x<a \qquad (U=0), $$ $$ a<x<a+b \qquad (U=U_0). $$ === Область I: $0<x<a$ === Здесь $$ \psi_1(x)=Ae^{i\alpha x}+Be^{-i\alpha x}, $$ где $$ \alpha=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}. $$ === Область II: $a<x<a+b$ === Если $E<U_0$, то решение в барьере экспоненциальное: $$ \psi_2(x)=Ce^{\beta(x-a)}+De^{-\beta(x-a)}, $$ где $$ \beta=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}. $$ Если $E>U_0$, то решение в барьере волновое: $$ \psi_2(x)=Ce^{i\gamma(x-a)}+De^{-i\gamma(x-a)}, $$ где $$ \gamma=\frac{\sqrt{2m(E-U_0)}}{\hbar}. $$ ---- ==== 3. Условия сшивки ==== На границе $x=a$ должны выполняться условия непрерывности функции и её производной: $$ \psi_1(a)=\psi_2(a), $$ $$ \psi_1'(a)=\psi_2'(a). $$ Кроме того, из условия Блоха на границах ячейки имеем: $$ \psi(a+b)=e^{iKd}\psi(0), $$ $$ \psi'(a+b)=e^{iKd}\psi'(0). $$ Эти четыре уравнения дают систему для коэффициентов $A,B,C,D$. Нетривиальное решение существует, если определитель системы равен нулю. Это условие и определяет спектр. ---- ==== 4. Дисперсионное соотношение ==== После стандартных вычислений получается уравнение Кронига--Пенни. === Случай $E<U_0$ === $$ \boxed{ \cos Kd= \cos(\alpha a)\cosh(\beta b) +\frac{\beta^2-\alpha^2}{2\alpha\beta}\sin(\alpha a)\sinh(\beta b)} $$ или эквивалентно $$ \boxed{ \cos Kd= \cos(\alpha a)\cosh(\beta b) -\frac{\alpha^2-\beta^2}{2\alpha\beta}\sin(\alpha a)\sinh(\beta b)} $$ === Случай $E>U_0$ === $$ \boxed{ \cos Kd= \cos(\alpha a)\cos(\gamma b) -\frac{\alpha^2+\gamma^2}{2\alpha\gamma}\sin(\alpha a)\sin(\gamma b)} $$ ---- ==== 5. Разрешённые и запрещённые зоны ==== Так как $K$ должно быть действительным для распространяющихся состояний, разрешённые значения энергии определяются условием $$ \boxed{|\cos Kd|\le 1.} $$ Это означает, что разрешённые зоны соответствуют тем энергиям, для которых правая часть дисперсионного уравнения лежит в пределах от $-1$ до $1$. Если же правая часть по модулю больше единицы, то $K$ становится комплексным, и такая энергия относится к запрещённой зоне. ===== Задача 8 ===== Рассматривается предельный случай предыдущей задачи: $$ b\to 0, \qquad U_0\to \infty, $$ причём произведение $$ bU_0=P $$ остаётся постоянным. В этом пределе последовательность прямоугольных барьеров переходит в периодическую последовательность $\delta$-барьеров: $$ U(x)=P\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(x-na). $$ Это и есть упрощённая модель Кронига--Пенни. ---- ==== 1. Предельный переход в дисперсионном уравнении ==== Берём формулу из задачи 7 для случая $E<U_0$: $$ \cos K(a+b)=\cos(\alpha a)\cosh(\beta b) +\frac{\beta^2-\alpha^2}{2\alpha\beta}\sin(\alpha a)\sinh(\beta b), $$ где $$ \alpha=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, \qquad \beta=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}. $$ При предельном переходе имеем: $$ b\to 0, \qquad \beta\to \infty, \qquad \beta b\to 0, $$ причём $$ \beta^2b \to \frac{2mP}{\hbar^2}. $$ Используем разложения при малых $b$: $$ \cosh(\beta b)\approx 1, $$ $$ \sinh(\beta b)\approx \beta b. $$ Кроме того, $a+b\to a$. Тогда получаем $$ \cos(Ka)=\cos(\alpha a)+\frac{mP}{\hbar^2\alpha}\sin(\alpha a). $$ Следовательно, дисперсионное уравнение имеет вид $$ \boxed{ \cos(Ka)=\cos(\alpha a)+\frac{mP}{\hbar^2\alpha}\sin(\alpha a)}. $$ Если обозначить $$ P_0=\frac{mP}{\hbar^2}, $$ то формулу можно записать так: $$ \cos(Ka)=\cos(\alpha a)+\frac{P_0}{\alpha}\sin(\alpha a). $$ ---- ==== 2. Разрешённые зоны энергии ==== Разрешённые значения энергии определяются условием существования действительного $K$, то есть $$ \boxed{\left|\cos(\alpha a)+\frac{mP}{\hbar^2\alpha}\sin(\alpha a)\right|\le 1.} $$ Это и есть условие разрешённых энергетических зон. Удобно ввести безразмерную переменную $$ z=\alpha a=\frac{a\sqrt{2mE}}{\hbar} $$ и параметр $$ \lambda=\frac{mPa}{\hbar^2}. $$ Тогда условие принимает вид $$ \boxed{\left|\cos z+\lambda\frac{\sin z}{z}\right|\le 1.} $$ Энергия выражается через $z$: $$ E=\frac{\hbar^2z^2}{2ma^2}. $$ Границы разрешённых зон определяются уравнениями $$ \cos z+\lambda\frac{\sin z}{z}=\pm 1. $$ ---- ==== Ответ к задаче 8 ==== Разрешённые зоны энергии задаются неравенством $$ \boxed{\left|\cos z+\lambda\frac{\sin z}{z}\right|\le 1,} $$ где $$ z=\frac{a\sqrt{2mE}}{\hbar}, \qquad \lambda=\frac{mPa}{\hbar^2}. $$ Соответственно, $$ E=\frac{\hbar^2z^2}{2ma^2}. $$ ===== Краткие ответы ===== * **Задача 5:** волновые функции получаются сшивкой плоских волн слева и плоской/затухающей волны справа; при $E<U_0$ число частиц в забарьерной области $$ N=\rho\,\frac{\hbar E}{U_0\sqrt{2m(U_0-E)}}. $$ * **Задача 6:** $$ E_s=\hbar\omega\left(2s+\frac32\right), \qquad s=0,1,2,\dots $$ * **Задача 7:** для прямоугольного периодического потенциала спектр задаётся уравнениями Кронига--Пенни. * **Задача 8:** в $\delta$-пределе разрешённые зоны определяются условием $$ \left|\cos z+\lambda\frac{\sin z}{z}\right|\le 1. $$