Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 1) Доказать поперечность любой электромагнитной волны, имеющей вид $\vec E=\vec E_0 (t-x\cdot \frac{\sqrt{\varepsilon \mu}}{c}).$ Показать, что $\sqrt{\varepsilon}E=\sqrt{\mu} H.$ 2) Найти поток энергии, плотность импульса и момента импульса электромагнитной волны. 3) Записать векторы напряженности плоской монохроматической волны: а) плоскополяризованной; б) поляризованной по кругу; в) эллиптически поляризованной. ----- $$\text{rot}\boldsymbol{E}=\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}\\ \partial_{x} & \partial_{y} & \partial_{z}\\ E_{x} & E_{y} & E_{z} \end{array}\right|$$ где $\partial_{x}=\frac{\partial}{\partial x}.$ Рассмотрим волну $\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{0}\left(t-x\frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\right)$ и подставим её в ротор. Т.к. зависимость от координат только от $x$, то $\left(\text{rot}\boldsymbol{E}\right)_{x}=0=(-\frac{1}{c}\partial_{t}\boldsymbol{B})_x,$ т.е. волна поперечная. Это же следует и из уравнения $\text{div}\boldsymbol{D}=0.$ Решением уравнений Максвелла без зарядов и токов $$\text{rot}\boldsymbol{E}=-\frac{1}{c}\partial_{t}\boldsymbol{B}, \ \ \ \text{rot}\boldsymbol{H}=\frac{1}{c}\partial_{t}\boldsymbol{D},$$ $$\text{div}\boldsymbol{D}=0, \ \ \ \text{div}\boldsymbol{B}=0,$$ будет \begin{eqnarray} \boldsymbol{E} & = & \boldsymbol{E}_{0}e^{i\left(\omega t-kx\right)} \end{eqnarray} и \begin{equation} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}_{0}e^{i\left(\omega t-kx\right)} \end{equation} для простоты выберем направление $$\boldsymbol{E}_{0}=\left(0,E_{0},0\right)$$ тогда отличная от нуля компонента $$\left(\text{rot}\boldsymbol{E}\right)_{z}=\left(\text{rot}\left(0,E,0\right)\right)_{z}=-ikE_{0}e^{i\left(\omega t-kx\right)}=-\frac{1}{c}\partial_{t}\left(B_{z}\right)=-\frac{1}{c}i\omega B_{0}e^{i\left(\omega t-kx\right)},$$ следовательно \begin{eqnarray} kE_{0} & = & \frac{1}{c}\omega B_{0} \end{eqnarray} аналогично для второго уравнения получим $$k\frac{B_{0}}{\mu}=\frac{1}{c}\omega\varepsilon E_{0} \text{ тогда } k^{2}\frac{B_{0}}{\mu}=\frac{1}{c}\omega\varepsilon kE_{0}=\frac{1}{c}\omega\varepsilon\frac{1}{c}\omega B_{0}$$ следовательно $$k^{2}\frac{1}{\mu\varepsilon}=\frac{1}{c^{2}}\omega^{2}$$ тогда получим $$\sqrt{\mu\varepsilon}E_{0}=B_{0}=\mu H_{0}$$ и в любой конкретный момент времени $$\sqrt{\mu\varepsilon}E=B=\mu H.$$