Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 1.37. Имеются две системы $N$ линз с одинаковыми фокусными расстояниями $|f|$ каждой линзы. Найти траекторию луча в каждой из систем, если расстояние между линзами --- $d.$ Рассмотреть случаи: а) система составлена только из собирающих линз. При каком соотношении $\frac df$ решение неустойчиво? б) Система состоит из чередующихся рассеивающих и собирающих линз. ----- ===== а) ===== Рассмотрим систему из собирающих линз, она состоит из одинаковых блоков --- "линза + пустой промежуток", тогда матрица преобразования такого блока: $$ M=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -\frac{1}{f} & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right), $$ а прохождение $N$ таких блоков опишется матрицей $$ M_{N}=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right)^{N}. $$ Преобразование на $m$--том шаге можно записать в виде: $$ \left(\begin{array}{c} x_{m}\\ \alpha_{m} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{m-1}\\ \alpha_{m-1} \end{array}\right), $$ а на $m+1$--ом шаге: $$\left(\begin{array}{c} x_{m+1}\\ \alpha_{m+1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{m}\\ \alpha_{m} \end{array}\right). $$ Запишем преобразование в виде системы: $$x_{m}=x_{m-1}+d\alpha_{m-1};$$ $$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1};$$ $$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m};$$ $$\alpha_{m+1}=-\frac{x_{m}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m}.$$ Из первого выразим угол $$\alpha_{m-1}=d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)$$ и подставим его во второе равенство $$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)= $$ $$-\frac{1}{d}x_{m-1}+\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\right)x_{m}$$ и после подставки в третье равенство получим выражение $$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m}=\left(2-\frac{d}{f}\right)x_{m}-x_{m-1}=2bx_{m}-x_{m-1},$$ являющееся линейным разностным уравнением. При задании граничного условия его решение единственно. Искать решение будем в виде $x_{m}=Ah^{m},$ тогда после подстановки придём к квадратному уравнению $h^{2}-2bh+1=0.$ Его решение $$h_{\{1,2\}}=b\pm\sqrt{b^{2}-1}=b\pm i\sqrt{1-b^{2}}.$$ Решение будет периодическим, если $$h_{\{1,2\}}=b\pm i\sqrt{1-b^{2}}=e^{\pm i\varphi},$$ где $\cos\varphi=b=1-\frac{d}{2f}$. Таким образом, если $d>4f$, то $|\cos \varphi|>1$, значит при $d>4f$ --- движение неустойчиво. /* Таким образом условие на существование периодического решения: $\frac{b}{c}\leq 1$, т.о. $$\frac{b}{c}=\leq 1$$ Действительно, можно искать решение сразу в виде $$x_{m}=A\cos\left(\varphi\cdot m+\psi\right),$$ тогда, подставив в уравнение получим: $$\cos\left(2\varphi+\psi\right)-2b\cos\left(\varphi+\psi\right)-c^{2}\cos\left(\psi\right)=0$$ */