Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 2.18. Вычислить групповую скорость для различных законов дисперсии ($v$ --- фазовая скорость): а) $v=const$ --- звук в воздухе; б) $v=a\sqrt{\lambda}$ --- гравитационные волны на воде; в) $v=\frac{a}{\sqrt{\lambda}}$ --- капиллярные волны; г) $v=\sqrt{c^{2}+b^{2}\lambda^{2}}$ --- электромагнитные волны в ионосфере ($c$ --- скорость света; $\lambda$ --- длина волны в среде); д) $v=\frac{c\omega}{\sqrt{\varepsilon\mu\omega^{2}-c^{2}\alpha^{2}}}$ --- электромагнитные волны в прямолинейном волноводе, заполненном диспергирующей средой с $\varepsilon=\varepsilon(\omega)$ и $\mu=\mu(\omega)$; $c$ --- скорость света в вакууме, $\alpha$ --- геометрический фактор волновода. ----- ==== a) ==== Фазовая скорость --- $v=\frac{\omega}{k}$, групповая скорость --- $u=\frac{d\omega}{dk}$, т.к. $v=\text{const},$ то $$u=\frac{d\left(vk\right)}{dk}=v.$$ ==== б) ==== Можно использовать выражение $\omega=vk$, тогда $\omega=vk=a\sqrt{\lambda}k=a\sqrt{2\pi k}$ и дифференцируя $$u=\frac{d\omega}{dk}=a\sqrt{\frac{\pi}{2k}}=\frac{a\sqrt{2\pi k}}{2k}=\frac{\omega}{2k}=\frac{1}{2}v.$$ С другой стороны, можно воспользоваться формулой связи скоростей $u=v-\lambda\frac{dv}{d\lambda},$ полученной в [[res2.17|задаче 2.17]] тогда $$u=v-\lambda\frac{d\left(a\sqrt{\lambda}\right)}{d\lambda}=v-\frac{a\sqrt{\lambda}}{2}=v-\frac{v}{2}=\frac{v}{2}.$$ ==== в) ==== $$u=v-\lambda\frac{d\left(a\lambda^{-\frac{1}{2}}\right)}{d\lambda}=v+\frac{\left(a\lambda^{-\frac{1}{2}}\right)}{2}=\frac{3}{2}v.$$ ==== г) ==== $$u=v-\lambda\frac{d\sqrt{c^{2}+b^{2}\lambda^{2}}}{d\lambda}=v-b^{2}\lambda^{2}\frac{1}{\sqrt{c^{2}+b^{2}\lambda^{2}}}=$$ $$v-\frac{b^{2}\lambda^{2}}{v}=\frac{v^{2}-b^{2}\lambda^{2}}{v}=\frac{c^{2}}{v}.$$ ==== д) ==== Подставим в выражение $v=\frac{c\omega}{\sqrt{\varepsilon\mu\omega^{2}-c^{2}\alpha^{2}}}$ фазовую скорость $v=\frac{\omega}{k}$, тогда $\sqrt{\varepsilon\mu\omega^{2}-c^{2}\alpha^{2}}=kc$, а с другой стороны $$\omega=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\sqrt{k^{2}+\alpha^{2}}.$$ Теперь найдём групповую скорость: $$ u=\frac{d\omega}{dk}=\frac{ck}{\sqrt{\varepsilon\mu}\cdot\sqrt{k^{2}+\alpha^{2}}}-\frac{c}{2\left(\sqrt{\varepsilon\mu}\right)^{3}}\sqrt{k^{2}+\alpha^{2}}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}=$$ $$\frac{c^{2}}{v}-\frac{\omega}{2\varepsilon\mu}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}.$$ Перейдём теперь от зависимости $\varepsilon\mu$ от волнового вектора к зависимости от частоты: $$\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}=\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}\frac{d\omega}{d\omega}=\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{d\omega}u,$$ тогда $$u=\frac{c^{2}}{v}-\frac{\omega}{2\varepsilon\mu}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{d\omega}u$$ и разрешая относительно скорости $u$ окончательно получим: $$u=\frac{c^{2}}{v\left(1+\frac{\omega}{2\varepsilon\mu}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{d\omega}\right)}.$$