Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 2.2. Найти спектры следующих сигналов: а) $f(t) = \text{cos}(\omega _0 t);$ б) $f(t) = \text{exp}(−\beta ^2 t^2);$ в) $f (t) = 0$ при $|t| > \frac 12 \tau$ и $f (t) = 1$ при $|t| \leq \frac 12 \tau ;$ г) $f (t) = 0$ при $t > \frac 12 \tau$ и $f (t) = \text{cos}(\frac{\pi t}{\tau})$ при $|t| \leq \frac 12 \tau ;$ д) $f (t) = 0$ при $|t| > \frac 12 \tau$ и $1-2|\frac{t}{\tau}|$ при $|t|\leqslant\frac{\tau}{2}$. ----- ===== а) ===== Для функции $f(t)=\cos(\omega_{0}t)$ рассмотрим её образ: $$ f_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i\omega t}dt=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\cos(\omega_{0}t)e^{i\omega t}dt=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\omega_{0}t}+e^{-i\omega_{0}t}}{2}e^{i\omega t}dt= $$ $$ =\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i(\omega_{0}+\omega)t}+e^{i(\omega-\omega_{0})t}}{2}dt=\frac{1}{2}\left(\delta(\omega_{0}+\omega)+\delta(-\omega_{0}+\omega)\right), $$ где воспользовались определением $$ \delta(\omega_{0}+\omega)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i(\omega_{0}+\omega)t}dt $$ дельта функции. ===== б) ===== Для функции распределения Гаусса: $$f(t)=\exp(-\beta^{2}t^{2})$$ для того что бы найти её образ $$ f_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\exp(-\beta^{2}t^{2})e^{i\omega t}dt =\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\exp(-\beta^{2}t^{2}+i\omega t)dt $$ вспомним значение интеграла: $$ \intop_{-\infty}^{\infty}\exp(-t^{2})dt=\sqrt{\pi}, $$ тогда приведём показатель степени к полному квадрату: $$ \beta^{2}t^{2}-i\omega t=\beta^{2}t^{2}-i\omega t\cdot\frac{2\beta}{2\beta}\pm\left(\frac{i\omega}{2\beta}\right)^{2}=\left(\beta t-\frac{i\omega}{2\beta}\right)^{2}-\left(\frac{i\omega}{2\beta}\right)^{2}=z^{2}+\left(\frac{\omega}{2\beta}\right)^{2}. $$ Теперь запишем и сам интеграл $$ f_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\exp(-\beta^{2}t^{2})e^{i\omega t}dt=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-z^{2}-\left(\frac{\omega}{2\beta}\right)^{2}\right)d\left(\frac{z}{\beta}\right)= $$ $$ \frac{\exp\left(-\left(\frac{\omega}{2\beta}\right)^{2}\right)}{2\pi\beta}\intop_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-z^{2}\right)dz=\frac{\exp\left(-\left(\frac{\omega}{2\beta}\right)^{2}\right)}{2\sqrt{\pi}\beta} . $$ ===== в) ===== Образ ступенчатой функции: $$ f_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i\omega t}dt=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}e^{i\omega t}dt= $$ $$ \frac{1}{i\omega2\pi}(e^{i\omega\frac{\tau}{2}}-e^{-i\omega\frac{\tau}{2}})=\frac{\sin\left(\omega\frac{\tau}{2}\right)}{\omega\pi}=\frac{\tau}{2\pi}\text{sinc}\left(\omega\frac{\tau}{2}\right) . $$ ===== г) ===== Образ полуволны в виде косинуса: $$ f_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\cos(\frac{\pi t}{\tau})e^{i\omega t}dt=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\frac{e^{i\frac{\pi t}{\tau}}+e^{-i\frac{\pi t}{\tau}}}{2}e^{i\omega t}dt= $$ $$ \frac{1}{4\pi}\intop_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\left(e^{it\left(\frac{\pi}{\tau}+\omega\right)}+e^{it\left(\omega-\frac{\pi}{\tau}\right)}\right)dt= $$ $$ \frac{1}{i4\pi}\left.\left(\frac{e^{it\left(\frac{\pi}{\tau}+\omega\right)}}{\frac{\pi}{\tau}+\omega}+\frac{e^{it\left(\omega-\frac{\pi}{\tau}\right)}}{\omega-\frac{\pi}{\tau}}\right)\right|_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\tau}{2}\omega\right)}{\frac{\pi}{\tau}+\omega}+\frac{\sin\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\tau}{2}\omega\right)}{\omega-\frac{\pi}{\tau}}\right)= $$ $$ \frac{1}{2\pi}\left(\frac{\cos\left(\frac{\tau}{2}\omega\right)}{\frac{\pi}{\tau}+\omega}-\frac{\cos\left(\frac{\tau}{2}\omega\right)}{\omega-\frac{\pi}{\tau}}\right)=\frac{\tau\cos\left(\frac{\tau}{2}\omega\right)}{\pi^{2}-\tau^{2}\omega^{2}} .$$ ===== д) ===== Образ равнобедренного треугольного сигнала: $$ f_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\left(\intop_{-\frac{\tau}{2}}^{0}(1+2\frac{t}{\tau})e^{i\omega t}dt+\intop_{0}^{\frac{\tau}{2}}(1-2\frac{t}{\tau})e^{i\omega t}dt\right). $$ Вычислим для удобства отдельно неопределённый интеграл: $$ \intop te^{i\omega t}dt=\frac{1}{i\omega}\intop tde^{i\omega t}=\frac{1}{i\omega}\left(te^{i\omega t}-\intop e^{i\omega t}dt\right)=\frac{1}{i\omega}te^{i\omega t}+\frac{1}{\omega^{2}}e^{i\omega t} $$ и теперь, с его помощью, вычислим определённый. Сначала первый: $$ \intop_{-\frac{\tau}{2}}^{0}(1+2\frac{t}{\tau})e^{i\omega t}dt=\left.\left(\frac{1}{i\omega}e^{i\omega t}+\frac{2}{i\omega\tau}te^{i\omega t}+\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{i\omega t}\right)\right|_{-\frac{\tau}{2}}^{0}= $$ $$ \frac{1}{i\omega}+\frac{2}{\omega^{2}\tau}-\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}+\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}-\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}= $$ $$ \frac{1}{i\omega}+\frac{2}{\omega^{2}\tau}-\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}. $$ Теперь второй: $$ \intop_{0}^{\frac{\tau}{2}}(1-2\frac{t}{\tau})e^{i\omega t}dt=\left.\left(\frac{1}{i\omega}e^{i\omega t}-\frac{2}{i\omega\tau}te^{i\omega t}-\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{i\omega t}\right)\right|_{0}^{\frac{\tau}{2}}= $$ $$ -\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{i\omega\frac{\tau}{2}}-\left(\frac{1}{i\omega}-\frac{2}{\omega^{2}\tau}\right) . $$ Ну и окончательно, используя сумму вычисленных интегралов: $$ f_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{2}{\omega^{2}\tau}-\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}-\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{i\omega\frac{\tau}{2}}+\frac{2}{\omega^{2}\tau}\right)= $$ $$ \frac{1}{\pi\omega^{2}\tau}\left(2-e^{i\omega\frac{\tau}{2}}-e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}\right)= \frac{2}{\pi\omega^{2}\tau}\left(1-\cos (\omega\frac{\tau}{2})\right)= $$ $$ \frac{4\sin^2\left(\omega\frac{\tau}{4}\right)}{\pi\omega^{2}\tau} = \frac{\tau }{4\pi} \text{sinc}^2\left(\omega\frac{\tau}{4}\right) . $$