Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 2.3. Записать уравнения Максвелла относительно компонент Фурье полей и потенциалов в однородной изотропной диспергирующей среде (при разложении на монохроматические, плоские и плоские монохроматические волны). ----- рассмотрим образ $$ \left[\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\right]_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}e^{i\omega t}dt=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial\left(\mathbf{B}e^{i\omega t}\right)}{\partial t}-i\omega\mathbf{B}e^{i\omega t}dt= $$ $$ \frac{1}{2\pi}\left.\left(\mathbf{B}e^{i\omega t}\right)\right|_{-\infty}^{\infty}-\frac{i\omega}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}e^{i\omega t}dt=0-i\omega\mathbf{B}_{\omega}=-i\omega\mathbf{B}_{\omega} . $$ Аналогично найдём Фурье--образ для: $$ \left[\text{div} \mathbf{B}\right]_{\mathbf{k}}=\left[\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z}\right]_{\mathbf{k}}, $$ но для начала рассмотрим только одно слагаемое: $$ \left[\frac{\partial B_{x}}{\partial x}\right]_{\mathbf{k}}=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}} \intop_{-\infty}^{\infty} \intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial B_{x}}{\partial x}e^{-ik_{x}x}\,dx\,e^{-ik_{y}y}dy\,e^{-ik_{z}z}dz= $$ $$ \frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty} \intop_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\partial\left(B_{x}e^{-ik_{x}x}\right)}{\partial x}+ik_{x}B_{x}e^{-ik_{x}x}\right)\,dx\,e^{-ik_{y}y}dy\,e^{-ik_{z}z}dz= $$ $$ \frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty} \intop_{-\infty}^{\infty} \left.\left(B_{x}e^{-ik_{x}x}\right)\right|_{-\infty}^{\infty} \,e^{-ik_{y}y}dy\,e^{-ik_{z}z}dz \ + $$ $$ \frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}} \intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty} \left(ik_{x}B_{x}e^{-ik_{x}x}\right)\,dx\,e^{-ik_{y}y}dy\,e^{-ik_{z}z}dz= $$ $$ 0 \ +ik_{x}\left(B_{x}\right)_{\mathbf{k}}=ik_{x}\left(B_{x}\right)_{\mathbf{k}} $$ первое слагаемое зануляется т.к. поле на больших расстояния обращается в ноль. Складывая, теперь покомпонентно: $$ \left[\text{div}\mathbf{B}\right]_{\mathbf{k}}=\left(\nabla\cdot\mathbf{B}\right)_{\mathbf{k}}=\left[\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z}\right]_{\mathbf{k}}=i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{B}_{\mathbf{k}}\right) . $$ совершенно аналогично из покопонентного вычисления $$ \left[\text{rot}\mathbf{B}\right]_{\mathbf{k}}=\left[\nabla\times\mathbf{B}\right]_{\mathbf{k}}=i\left[\mathbf{k}\times\mathbf{B}_{\mathbf{k}}\right] . $$ $$ \left[\nabla\times\mathbf{E}\right]_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\left[\nabla\times\mathbf{E}\right]e^{i\omega t}dt=\nabla\times\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}e^{i\omega t}dt=\left[\nabla\times\mathbf{E}_{\omega}\right] .$$ Тогда окончательно запишем разложение по монохроматическим волнам: $$\text{rot}\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \mapsto \left[\nabla\times\mathbf{E}_{\omega}\right]=\frac{i\omega}{c}\mathbf{B}_{\omega} ,$$ $$ \text{rot}\mathbf{H}=\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} \mapsto \left[\nabla\times\mathbf{H}_{\omega}\right]=\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}_{\omega}+\frac{i\omega}{c}\mathbf{D}_{\omega} ,$$ $$\text{div}\mathbf{D}=4\pi\rho \mapsto \left(\nabla\cdot\mathbf{D}_{\omega}\right)=4\pi\rho_{\omega} ,$$ $$ \text{div}\mathbf{B}=0 \mapsto \left(\nabla\cdot\mathbf{B}_{\omega}\right)=0. $$ Разложение по плоским волнам: $$ \text{rot}\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \mapsto i\left[\mathbf{k}\times\mathbf{E}_{\mathbf{k}}\right]=-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B_{\mathbf{k}}}}{\partial t} ,$$ $$ \text{rot}\mathbf{H}=\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} \mapsto i\left[\mathbf{k}\times\mathbf{H}_{\mathbf{k}}\right]=\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}_{\mathbf{k}}+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{D}_{\mathbf{k}}}{\partial t} ,$$ $$ \text{div}\mathbf{D}=4\pi\rho \mapsto i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{D}_{\mathbf{k}}\right)=4\pi\rho_{\mathbf{k}} ,$$ $$ \text{div}\mathbf{B}=0 \mapsto \left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{B}_{\mathbf{k}}\right)=0 . $$ Разложение по плоским и монохроматическим волнам: $$ \text{rot}\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \mapsto \left[\mathbf{k}\times\mathbf{E}_{\mathbf{k}\omega}\right]=\frac{\omega}{c}\mathbf{B}_{\mathbf{k}\omega},$$ $$\text{rot}\mathbf{H}=\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} \mapsto \left[\mathbf{k}\times\mathbf{H}_{\mathbf{k}\omega}\right]=-\frac{i4\pi}{c}\mathbf{j}_{\mathbf{k}\omega}+\frac{\omega}{c}\mathbf{D}_{\mathbf{k}\omega},$$ $$ \text{div}\mathbf{D}=4\pi\rho \mapsto \left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{D}_{\mathbf{k}\omega}\right)=-i4\pi\rho_{\mathbf{k}\omega}, $$ $$\text{div}\mathbf{B}=0 \mapsto \left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{B}_{\mathbf{k}\omega}\right)=0 .$$