Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 2.32. Найти связь между поперечными компонентами полей и продольной составляющей электрического поля $E_z$ для монохроматической $E$--волны (или TM--волны), распространяющейся вдоль прямоугольного пустого волновода. Найти уравнение для составляющей поля $E_z.$ То же для $H$--волны (или ТЕ--волны). ----- Волновод представляет собой полость неограниченной длины. Распространение электромагнитных волн в волноводе принципиально отличается от распространения неограниченных в пространстве плоских волн. Пусть длины сторон прямоугольного сечения равны $a$ и $b,$ ось $Z$ направлена вдоль волновода, а среда, заполняющая волновод, характеризуется диэлектрической и магнитной проницаемостями соответственно $\varepsilon $ и $\mu .$ Рассмотрим волновые уравнения $$ \Delta \vec E = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} \ \ \text{ и } \ \ \Delta \vec H = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \vec H}{\partial t^2}, $$ где $v=\frac c{\sqrt{\varepsilon \mu}}$. Будем искать решение в виде бегущей по оси $Z$ волне $$ \vec E=\vec E_0(x,y)e^{i(\omega t - k_z z)} \ \ \text{ и } \ \ \vec H=\vec H_0(x,y)e^{i(\omega t - k_z z)}. $$ Связь между векторами $\vec E$ и $\vec H$ определяется уравнениями Максвелла: $$rot\vec{E}=-\frac{\mu}{c}\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}, \hspace{10pt} rot\vec{H}=\frac{\varepsilon}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.$$ распишем уравнения покомпонентно, с учётом $$\vec{E}=\vec{E}_{0}(x,y)e^{i(\omega t-k_{z}z)}, \hspace{10pt} \vec{H}=\vec{H}_{0}(x,y)e^{i(\omega t-k_{z}z)}: $$ $$rot\vec{E}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{e}_{x} & \vec{e}_{y} & \vec{e}_{z}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ E_{x} & E_{y} & E_{z} \end{array}\right|=\vec{e}_{x}\left(\frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}\right)+\vec{e}_{y}\left(\frac{\partial E_{x}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial x}\right)+\vec{e}_{z}\left(\frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}\right)= $$ $$\vec{e}_{x}\left(\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}+ik_{z}E_{y0}\right)+\vec{e}_{y}\left(-ik_{z}E_{x0}-\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}\right)+\vec{e}_{z}\left(\frac{\partial E_{y0}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x0}}{\partial y}\right)=-\frac{\mu}{c}i\omega\vec{H}_{0}.$$ аналогично для второго уравнения $$rot\vec{H}=\vec{e}_{x}\left(\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+ik_{z}H_{y0}\right)+\vec{e}_{y}\left(-ik_{z}H_{x0}-\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right)+\vec{e}_{z}\left(\frac{\partial H_{y0}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x0}}{\partial y}\right)=\frac{\varepsilon}{c}i\omega\vec{E}_{0}.$$ Приходим к системе уравнений: $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{\partial E_{z0}}{\partial y}+ik_{z}E_{y0}=-\frac{\mu}{c}i\omega H_{x0}\\ ik_{z}E_{x0}+\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}=\frac{\mu}{c}i\omega H_{y0}\\ \frac{\partial E_{y0}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x0}}{\partial y}=-\frac{\mu}{c}i\omega H_{z0}\\ \frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+ik_{z}H_{y0}=\frac{\varepsilon}{c}i\omega E_{x0}\\ ik_{z}H_{x0}+\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}=-\frac{\varepsilon}{c}i\omega E_{y0}\\ \frac{\partial H_{y0}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x0}}{\partial y}=\frac{\varepsilon}{c}i\omega E_{z0} \end{array}\right.$$ в первое ур-е подставим 5-е $$\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}-k_{z}\frac{1}{\frac{\varepsilon}{c}\omega}\left(ik_{z}H_{x0}+\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right)=-\frac{\mu}{c}i\omega H_{x0}$$ $$\frac{\varepsilon\omega}{c}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}-k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}=ik_{z}^{2}H_{x0}-i\frac{\mu\varepsilon}{c^{2}}\omega^{2}H_{x0}=i\left(k_{z}^{2}-\frac{\mu\varepsilon}{c^{2}}\omega^{2}\right)H_{x0}=-i\varkappa^{2}H_{x0}$$ где $\varkappa^{2}=\frac{\mu\varepsilon}{c^{2}}\omega^{2}-k_{z}^{2}$ так, что $$H_{x0}=\frac{i}{\varkappa^{2}}\left(\frac{\varepsilon\omega}{c}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}-k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right).$$ Так как первая тройка уравнений отличается от второй тройки заменой $$E_{i}\leftrightarrow H_{i} \ \ \text{ и } \ \ \mu\leftrightarrow-\varepsilon,$$ то можем записать и второе уравнение: $$E_{x0}=\frac{-i}{\varkappa^{2}}\left(\frac{\mu\omega}{c}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+k_{z}\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}\right).$$ Теперь из второго и 4-го уравнений: $$ik_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+\frac{\varepsilon}{c}i\omega\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}=\left(k_{z}^{2}-\frac{\varepsilon\mu}{c^{2}}\omega^{2}\right)H_{y0}=-\varkappa^{2}H_{y0}$$ так, что $$H_{y0}=\frac{-i}{\varkappa^{2}}\left(k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+\frac{\varepsilon}{c}\omega\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}\right)$$ и после замены: $$E_{y0}=\frac{i}{\varkappa^{2}}\left(-k_{z}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}+\frac{\mu}{c}\omega\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right).$$ В полученных решениях можно выделить две чистых волны: $E$--волну, когда $H_{z0}=0$ и, наоборот, $H$--волну, когда $E_{z0}=0$. Таким образом поле в резонаторе можно характеризовать только одной компонентой поля $z$ --- составляющей, которая удовлетворяет волновому уравнению: $$\Delta E_{z0}=\frac{\varepsilon\mu}{c^{2}}\frac{\partial^{2}E_{z0}}{\partial t^{2}}$$ откуда с учётом $\vec{E}=\vec{E}_{z0}(x,y)e^{i(\omega t-k_{z}z)}$ придём к двумерному волновому уравнению: $$\frac{\partial^{2}E_{z0}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{z0}}{\partial y^{2}}+\varkappa^{2}E_{z0}=0.$$