Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 2.4. Найти связь между компонентами Фурье полей и потенциалов (при разложении на монохроматические, плоские и плоские монохроматические волны). ----- Найдём связь между компонентами Фурье полей и потенциалов подставив в уравнения связи полей и потенциалов $$\mathbf{B}=\text{rot}\mathbf{A}=[\nabla\times\mathbf{A}],$$ $$\mathbf{E}=-\text{grad}\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}=-\nabla\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}.$$ Запишем функции полей и потенциалов, выраженные через их Фурье образы: $$ \mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k} =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k}, $$ $$\mathbf{A}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k}, $$ $$\mathbf{E}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k} =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k},$$ $$ \varphi=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{\varphi}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega =\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k} =\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k}. $$ Фурье образы $\mathbf{B}_{\omega},\mathbf{E}_{\omega},\mathbf{A}_{\omega},\mathbf{\varphi}_{\omega},\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{E}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{\varphi}_{\omega\mathbf{k}}$ не зависят от времени, а $\mathbf{B}_{\omega},\mathbf{E}_{\omega},\mathbf{A}_{\omega},\mathbf{\varphi}_{\omega},\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{E}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{\varphi}_{\omega\mathbf{k}}$ --- от пространственных переменных, тогда производные функций, записанные через Фурье образы, после замены порядка интегрирования и дифференцирования, легко берутся. Рассмотрим сначала разложение на монохроматические волны: $$ \mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega=[\nabla\times\mathbf{\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega}]=\intop_{-\infty}^{\infty}[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]e^{-i\omega t}d\omega .$$ перепишем равенство в виде $$ \intop_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{B}_{\omega}-[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]\right)e^{-i\omega t}d\omega=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega=\mathbf{F}(t)=0 .$$ Но для всюду нулевой функции $\mathbf{F}(t)=0$ её образ $$\mathbf{F}_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}(t)e^{i\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}0\cdot e^{i\omega t}d\omega=0 $$ так же будет нулевым $$\mathbf{B}_{\omega}-[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]=0$$ так, что $$\mathbf{B}_{\omega}=[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}] .$$ Рассмотрим теперь разложение на плоские волны: $$ \mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=[\nabla\times\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}]=\intop_{-\infty}^{\infty}[\nabla\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}]d\mathbf{k}= $$ $$\intop_{-\infty}^{\infty}i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}]d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k} $$ перепишем равенство в виде $$ \intop_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{B}_{\mathbf{k}}-i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]\right)e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=0 .$$ Аналогично, как и в предыдущем случае, приходим к равенству нулю подынтегральной функции $$\mathbf{B}_{\mathbf{k}}-i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]=0,$$ ну и окончательно $$\mathbf{B}_{\mathbf{k}}=i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}].$$ При разложении по плоским и монохроматическим: $$\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}}=i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}].$$ Аналогичные построения для электрического поля приводят к выражениям: $$\mathbf{E}_{\omega}=-\nabla\varphi_{\omega}+i\frac{\omega}{c}\mathbf{A}_{\omega}.$$ $$\mathbf{E_{k}}=-i\mathbf{k}\varphi_{\mathbf{k}}-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{\mathbf{A}_{\mathbf{k}}}}{\partial t}.$$ $$\mathbf{E_{\omega\mathbf{k}}}=-i\mathbf{k}\varphi_{\omega\mathbf{k}}+i\frac{\omega}{c}\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}.$$