Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 2.5. а) Разложить по плоским волнам кулоновский потенциал неподвижного точечного заряда; б) то же для векторного потенциала прямого тока $J$ (плотность тока $J = j\delta (x)\delta (y) ).$ ----- ===== а) ===== Кулоновский потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона: $$\Delta\varphi=-4\pi q\delta(\mathbf{r}).$$ Как и в [[res2.4|предыдущей задаче]] запишем потенциал в виде: $$\varphi=\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},$$ а трёхмерную дельта--функцию в виде $$ \delta(\mathbf{r})=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k} .$$ Подействовав лапласианом на функцию $\varphi$ получим с одной стороны: $$ \Delta\varphi=\Delta\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}\Delta e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=-\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}\mathbf{k}^{2}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}, $$ а с другой $$ -4\pi q\delta(\mathbf{r})=-4\pi q\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=-q\frac{1}{2\pi^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}. $$ Приравнивая обе части получим равенство подынтегральных функций: $$ \varphi_{\mathbf{k}}\mathbf{k}^{2}=q\frac{1}{2\pi^{2}}, $$ так, что $$ \varphi_{\mathbf{k}}=\frac{q}{2\pi^{2}\mathbf{k}^{2}}. $$ ===== б) ===== Аналогично рассмотрим и для тока: $$\mathbf{J}=j\delta(x)\delta(y),$$ удовлетворяющему уравнению для векторного потенциала: $$\Delta\mathbf{A}=-\frac{4\pi}{c}\mathbf{J},$$ тогда с одной стороны: $$\Delta\mathbf{A}=\Delta\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},\mathbf{A}=-\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{k}^{2}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},$$ с другой стороны $$-\frac{4\pi}{c}\mathbf{J}=-\frac{4\pi}{c}j\delta(x)\delta(y)=-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}dk_xdk_y=$$ $$-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}dk_xdk_y\,\delta(k_{z})e^{ik_{z}z}dk_z .$$ Приравнивая обе части получим равенство подынтегральных функций: $$-\mathbf{k}^{2}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}=-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\delta(k_{z})=-\frac{1}{c}j\frac{1}{\pi}\delta(k_{z})$$ так, что $$\mathbf{A}_{\mathbf{k}}=\frac{j\delta(k_{z})}{\pi c\mathbf{k}^{2}}.$$