Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 4.31. Оценить энергию излучения электрона, пролетающего на большом расстоянии от тяжелого ядра с зарядом $Ze$ ($v \ll c$). ----- {{:optics:выделение_284.png?200 |}}Будем считать, что энергия излучения много меньше кинетической энергии электрона и он практически не отклонится от прямолинейного движения. Тогда $$I=\frac{dW}{dt}=\frac{2\ddot{p}^{2}}{3c^{3}}=\frac{2e^{2}a^{2}}{3c^{3}}=\frac{2e^{2}}{3c^{3}}\left(\frac{Ze^{2}}{mr^{2}}\right)^{2}.$$ Проинтегрируем излучение при всём движении электрона $$ W=\frac{2e^{6}Z^{2}}{3c^{3}m^{2}}\intop\frac{dt}{r^{4}}=\frac{2e^{6}Z^{2}}{3c^{3}m^{2}}\intop\frac{dt}{\left(\rho^{2}+v^{2}t^{2}\right)^{2}}=\frac{2e^{6}Z^{2}}{3c^{3}m^{2}}\cdot\frac{1}{\rho^{3}v}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{d\xi}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}.$$ Для взятия интеграла произведём замену $\xi=\text{tg}\alpha$ $$I=\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{d\xi}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}=\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\alpha d\alpha=\frac{1}{2}\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos2\alpha\right)d\alpha=$$ $$\frac{1}{2}\left.\left(\alpha+\frac{1}{2}\sin2\alpha\right)\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}.$$ Так, что энергия излучения электрона: $$W=\frac{\pi e^{6}Z^{2}}{3c^{3}m^{2}\rho^{3}v}.$$