Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 4.67. Линейно поляризованная волна падает на изотропный гармонический осциллятор. Скорость электрона $v \ll c.$ Найти дифференциальное $\frac{d\sigma}{d\Omega }$ и полное $\sigma $ сечение рассеяния волны с учетом силы лучистого трения. ----- Гармонический осциллятор в поле плоской волны $$m\ddot{x}+kx=eE_{0}e^{-i\omega t}+f_{t} $$ или $$\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=\frac{e}{m}E_{0}e^{-i\omega t}+\frac{1}{m}f_{t}, $$ где $$f_{t}=\frac{2e^{2}}{3c^{3}}\dddot{x}=\frac{2m}{3c}\frac{e^{2}}{mc^{2}}\dddot{x}$$ --- лучистое трение. Уравнение движения $$-\frac{2r_{e}}{3c}\dddot{x}+\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=\frac{e}{m}E_{0}e^{-i\omega t}.$$ Ищем решение в виде $x=Ae^{-i\omega t}$, тогда $$A\left(-i\omega^{3}\frac{2r_{e}}{3c}-\omega^{2}+\omega_{0}^{2}\right)=\frac{e}{m}E_{0} $$ и, следовательно, $$\ddot{p}=e\ddot{x}=\frac{\omega^{2}eE_{0}e^{-i\omega t}}{m\left(i\omega^{3}\frac{2r_{e}}{3c}+\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)}. $$ Аналогично, как и в предыдущей задаче, $$\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle =\frac{\left\langle \ddot{p}^{2}\right\rangle \sin^{2}\theta}{4\pi c^{3}}=\frac{\sin^{2}\theta}{4\pi c^{3}}\cdot\frac{1}{2}\ddot{p}\ddot{p}^{*}=\frac{\sin^{2}\theta}{8\pi c^{3}}\cdot\frac{\omega^{4}e^{2}E_{0}^{2}}{m^{2}\left(\left(\omega^{3}\frac{2r_{e}}{3c}\right)^{2}+\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}\right)}.$$ $$\left\langle S_{0}\right\rangle =\frac{c}{4\pi}\left\langle E^{2}\right\rangle =\frac{cE_{0}^{2}}{8\pi},$$ $$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle }{\left\langle S_{0}\right\rangle }=\frac{\omega^{4}e^{2}\sin^{2}\theta}{m^{2}c^{4}\left(\left(\omega^{3}\frac{2r_{e}}{3c}\right)^{2}+\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}\right)}.$$ Полное сечение найдём интегрированием, с учётом $$\int\sin^{2}\theta d\Omega=2\pi\intop_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta d\theta=-2\pi\intop_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta d\cos\theta=$$ $$2\pi\intop_{-1}^{1}1-t^{2}dt=\frac{8\pi}{3}.$$ тогда $$\sigma=\frac{8\pi r_{e}^{2}\sin^{2}\theta}{3}\cdot\frac{\omega^{4}}{\left(\omega^{3}\frac{2r_{e}}{3c}\right)^{2}+\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}}.$$ Исследуем функцию $$F(\omega)=\frac{\omega^{4}}{\left(\omega^{3}\frac{2r_{e}}{3c}\right)^{2}+\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}}$$ при различных частотах. При $\omega\gg\omega_{0}$: $$F(\omega)\approx\frac{1}{\left(\omega\frac{2r_{e}}{3c}\right)^{2}+1},$$ при $\omega\approx\omega_{0}$: $$F(\omega)=\frac{9c^{2}}{4\omega^{2}r_{e}^{2}}=\frac{9\lambda^{2}}{16\pi^{2}r_{e}^{2}},$$ при $\omega\ll\omega_{0}$: $$F(\omega)=\frac{\omega^{4}}{\left(\omega^{3}\frac{2r_{e}}{3c}\right)^{2}+\omega_{0}^{4}}.$$