Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 5.24. Переходом из системы, где частица покоится, а ускорение её $\vec a,$ в систему, где её скорость $v\sim c,$ получить формулу полного излучения $4$--импульса: $$ \Delta p^i=-\frac{2e^4}{3m^2c^5}\int F_{k\ell}u^{\ell}F^{km}u_m \, dx^i. $$ В частности, $$ \Delta W=\frac{2e^{2}}{3c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{a^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left[\vec{v}\times\vec{a}\right]^{2}}{\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{3}}dt $$ или $$ \Delta W=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\left(\vec{E}+\left[\frac{\vec{v}}{c}\times\vec{H}\right]\right)^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left(\vec{E}\vec{v}\right)^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}dt. $$ ----- В системе координат, в которой частица покоится, дипольное излучение приводит к изменению энергии и импульса, которые можно записать в виде классических уравнений: $$\frac{dW'}{dt'}=\frac{2e^{2}a^{2}}{3c^{3}},$$ $$\frac{dp'}{dt'}=0.$$ Производная от импульса равна нулю в силу симметрии излучения. Направим ось $X$ вдоль скорости частицы и применим к полученным соотношениям преобразование при переходе из движущейся системы в покоящуюся систему. Преобразование 4-х вектора: $$\left(\begin{array}{c} \frac{dW}{c}\\ dp\\ 0\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & \frac{v}{c}\gamma & 0 & 0\\ \frac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{dW'}{c}\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$ тогда $$\frac{dW}{c}=\gamma\frac{dW'}{c},\,dp=\frac{v}{c}\gamma\frac{dW'}{c}.$$ С учётом $dt=\gamma dt',$ получим $$\frac{dW}{dt}=\frac{dW'}{dt'},\frac{\,dp}{dt}=\frac{v}{c^{2}}\gamma\frac{dW'}{dt'}.$$ Пусть ускорение частицы в собственной системе координат определяется внешним электрическим полем: $\vec{a}'=\frac{e}{m}\vec{E,}$ тогда, для покоящейся частицы $v'=0$, следовательно $\left[\vec{v}\times\vec{H}\right]=0.$ Разложим поле на компоненты $$\vec{E}'=E'_{\Vert}+E'_{\bot}=E{}_{\Vert}+\gamma\left(E_{\bot}+\left[\vec{\beta}\times\vec{H}\right]\right).$$ Квадрат ускорения можно записать через компоненты электромагнитного поля в лабораторной системе отсчета в виде $$a^{2}=\frac{e^{2}}{m^{2}}\left(E_{\Vert}^{2}+\gamma^{2}\left(E_{\bot}+\left[\vec{\beta}\times\vec{H}\right]\right)^{2}\right)\pm\frac{e^{2}}{m^{2}}\gamma^{2}E_{\Vert}^{2}=$$ $$\frac{e^{2}}{m^{2}}\gamma^{2}\left(E^{2}+\left[\vec{\beta}\times\vec{H}\right]^{2}+2\left(E_{\bot}\cdot\left[\vec{\beta}\times\vec{H}\right]\right)+\frac{1-\gamma^{2}}{\gamma^{2}}E_{\Vert}^{2}\right)=$$ $$\frac{e^{2}}{m^{2}}\gamma^{2}\left(\left(\vec{E}+\left[\vec{\beta}\times\vec{H}\right]\right)^{2}+\left(\vec{\beta}\cdot\vec{E}\right)^{2}\right).$$ Тогда полная интенсивность излучения $$\frac{dW}{dt}=\frac{dW'}{dt'}=\frac{2e^{2}a^{2}}{3c^{3}}=\frac{2e^{4}}{3c^{3}m^{2}}\gamma^{2}\left(\left(\vec{E}+\left[\vec{\beta}\times\vec{H}\right]\right)^{2}+\left(\vec{\beta}\cdot\vec{E}\right)^{2}\right),$$ а полные потери энергии на излучение $$\Delta W=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\left(\vec{E}+\left[\frac{\vec{v}}{c}\times\vec{H}\right]\right)^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left(\vec{E}\vec{v}\right)^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}dt.$$