Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 5.41. а) Определить полное излучение релятивистской частицы с зарядом $e,$ пролетающей на прицельном расстоянии $\rho $ без изменения траектории в следующих полях: а) ядра $Ze.$ Получить ограничения на параметры неискривляющейся траектории. Найти нерелятивистский предел. ----- С учётом решения задачи [[optics:res5.24|5.24]] полные потери на излучение при пролете релятивистской частицы в электромагнитном поле $$\Delta W=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\left(\vec{E}+\left[\frac{\vec{v}}{c}\times\vec{H}\right]\right)^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left(\vec{E}\vec{v}\right)^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}dt.$$ Поскольку в данном варианте в лабораторной системе магнитное поле отсутствует, то формулу потерь можно переписать в виде $$\Delta W=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\vec{E}^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left(\vec{E}\vec{v}\right)^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}dt=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{E_{\bot}^{2}+\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)E_{\Vert}^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}dt.$$ Поскольку по условию задачи траектория частицы остается неизменной, т.е. частица движется по прямой с прицельным параметром $\rho,$ то при нахождении частицы на расстоянии $x$ от точки с минимальным расстоянием: $$E_{\Vert}=\frac{Zex}{\left(x^{2}+\rho^{2}\right)^{\frac{3}{2}}},$$ $$E_{\bot}=\frac{Ze\rho}{\left(x^{2}+\rho^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}.$$ Заменой в интеграле $dt=\frac{dx}{v}$ (считая что скорость частицы не меняется и равна $v$) перейдём к интегралу: $$\Delta W=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{E_{\bot}^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}+E_{\Vert}^{2}dt=\frac{2Z^{2}e^{6}}{3vm^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\gamma^{2}\rho^{2}+x^{2}}{\left(x^{2}+\rho^{2}\right)^{3}}dx.$$ С учётом интегралов: $$\left.\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}dx\right|_{x=tg\phi}=\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}\phi d\phi=\frac{1}{4}\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos2\phi\right)^{2}d\phi=\frac{1}{4}\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+2\cos2\phi+\cos^{2}2\phi\right)d\phi=$$ $$\frac{1}{4}\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+2\cos2\phi\right)d\phi+\frac{1}{8}\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos4\phi\right)d\phi=$$ $$\left.\frac{1}{4}\left(\phi+\sin2\phi\right)+\frac{1}{8}\left(\phi+\frac{1}{4}\sin4\phi\right)\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{3\pi}{8}$$ $$\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}dx=\frac{1}{2}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}dx^{2}=-\frac{1}{4}\intop_{-\infty}^{\infty}xd\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=$$ $$-\frac{1}{4}\left.\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\right|_{-\infty}^{\infty}+\frac{1}{4}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=$$ $$\left.\frac{1}{4}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}dx\right|_{x=tg\phi}=\frac{1}{4}\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\phi d\phi=$$ $$\frac{1}{8}\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\cos2\phi d\phi=\left.\frac{1}{8}\left(\phi+\frac{1}{2}\sin2\phi\right)\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{8}$$ В итоге: $$\Delta W=\frac{2Z^{2}e^{6}}{3vm^{2}c^{3}\rho^{3}}\left(\frac{3\pi}{8}\gamma^{2}+\frac{\pi}{8}\right)=\frac{\pi Z^{2}e^{6}}{12vm^{2}c^{3}\rho^{3}}\left(3\gamma^{2}+1\right).$$