Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 5.5. а) Свет частоты $\omega _0$ падает по нормали к поверхности плоскости зеркала, движущегося со скоростью $\vec v$ в направлении падающего света. Найти частоту отраженного света. б) Свет падает под углом $\theta $ к нормали зеркала, движущегося в направлении этой нормали со скоростью $\vec v$ (зеркало «уходит» от падающего света). Найти угол отражения. ----- ===== a) ===== Если $$k^{\mu}=\left(\frac{\omega}{c},k_{x},k_{y},k_{z}\right)=\left(\frac{\omega}{c},-k,0,0\right)$$ --- волновой четырёхвектор в лабораторной СО, тогда $$\left(\begin{array}{c} \frac{\omega'}{c}\\ -k'\\ 0\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & -\frac{v}{c}\gamma & 0 & 0\\ -\frac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{\omega}{c}\\ -k\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$ Найдём падающую волну в движущейся СО: $$\frac{\omega'}{c}=\gamma\frac{\omega_{0}}{c}+\frac{v}{c}\gamma k$$ --- итоговый знак "плюс" --- из--за разнонаправленности скорости $\vec{v}$ и распространения света, т.е. $\vec{k}.$ Итак, $$\frac{\omega'}{c}=\gamma\frac{\omega_{0}}{c}\left(1+\frac{v}{c}\right).$$ После отражения $\vec{k}'$ будет уже иметь то же направление, что и скорость $\vec{v}$. Теперь произведём обратный переход: /* $$\left(\begin{array}{c} \frac{\omega}{c}\\ k\\ 0\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & \frac{v}{c}\gamma & 0 & 0\\ \frac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{\omega'}{c}\\ k'\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$ */ $$\left(\begin{array}{c} \frac{\omega}{c}\\ k\\ 0\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & \frac{v}{c}\gamma & 0 & 0\\ \frac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{\omega'}{c}\\ k'\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$ $$\frac{\omega}{c}=\gamma\frac{\omega'}{c}+\frac{v}{c}\gamma k'=\gamma\frac{\omega'}{c}\left(1+\frac{v}{c}\right)=\gamma^{2}\frac{\omega_{0}}{c}\left(1+\frac{v}{c}\right)^{2}=$$ $$\frac{\omega_{0}}{c}\frac{\left(1+\frac{v}{c}\right)^{2}}{\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1-\frac{v}{c}\right)}=\frac{\omega_{0}}{c}\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}$$ т.е. $$\omega=\omega_{0}\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}.$$ ===== б) ===== $$\left(\begin{array}{c} \frac{\omega'}{c}\\ k'\cos\theta'\\ k'\sin\theta'\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & -\frac{v}{c}\gamma & 0 & 0\\ -\frac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{\omega_{0}}{c}\\ k_{0}\cos\theta_{0}\\ k_{0}\sin\theta_{0}\\ 0 \end{array}\right)$$ $$\frac{\omega'}{c}=\gamma\frac{\omega_{0}}{c}-\frac{v}{c}\gamma k_{0}\cos\theta_{0}=\gamma\frac{\omega_{0}}{c}\left(1-\frac{v}{c}\cos\theta_{0}\right),$$ $$k'\cos\theta'=-\frac{v}{c}\gamma\frac{\omega_{0}}{c}+\gamma k_{0}\cos\theta_{0}=\gamma\frac{\omega_{0}}{c}\left(-\frac{v}{c}+\cos\theta_{0}\right).$$ Следовательно $$\cos\theta'=\frac{-\frac{v}{c}+\cos\theta_{0}}{1-\frac{v}{c}\cos\theta_{0}}.$$ Произведём теперь обратное преобразование, но с учётом, что теперь $\vec{k}'$ и $\vec{v}$ имеют разные знаки: $$\left(\begin{array}{c} \frac{\omega}{c}\\ -k\cos\theta\\ k\sin\theta\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & \frac{v}{c}\gamma & 0 & 0\\ \frac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{\omega'}{c}\\ -k'\cos\theta'\\ k'\sin\theta'\\ 0 \end{array}\right).$$ $$\frac{\omega}{c}=\gamma\frac{\omega'}{c}-\frac{v}{c}\gamma k'\cos\theta'=\gamma\frac{\omega'}{c}\left(1-\frac{v}{c}\cos\theta'\right)$$ $$-k\cos\theta=\frac{v}{c}\gamma\frac{\omega'}{c}-\gamma k'\cos\theta'=\gamma\frac{\omega'}{c}\left(\frac{v}{c}-\cos\theta'\right)$$ Поделив второе на первое найдём угол $$\cos\theta=-\frac{\frac{v}{c}-\cos\theta'}{1-\frac{v}{c}\cos\theta'}=-\frac{\frac{v}{c}-\frac{-\frac{v}{c}+\cos\theta_{0}}{1-\frac{v}{c}\cos\theta_{0}}}{1-\frac{v}{c}\frac{-\frac{v}{c}+\cos\theta_{0}}{1-\frac{v}{c}\cos\theta_{0}}}\Rightarrow$$ $$\cos\theta=\frac{\left(1+\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\cos\theta_{0}-2\frac{v}{c}}{1+\frac{v^{2}}{c^{2}}-2\frac{v}{c}\cos\theta_{0}}.$$