Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 1. Рабочее тело идеальный газ теплового двигателя совершает цикл, состоящий из последовательных процессов изобарного адиабатного и изотермического. В результате изобарного процесса газ нагревается от ${Т}_{1}=300$ К до ${Т}_{2}=600$ К. Определите термический КПД теплового двигателя. $\eta=\frac{Q_{1}+Q_{2}}{Q_{1}}=\frac{Q_{1}-|Q_{2}|}{Q_{1}}=1-\frac{|Q_{2}|}{Q_{1}}$ В нашем случае $\eta=1-\frac{|Q_{31}|}{Q_{12}}$ Начнём с картинки. Найдём сначала из $\delta Q=\nu C_{p}dT$ интегрированием $Q_{12}=\nu C_{p}\left(T_{2}-T_{1}\right)$. Далее газ адиабатно расширяется $T_{2}V_{2}^{\gamma-1}=T_{3}V_{3}^{\gamma-1}$ затем изотермально сжимается отдавая тепло $Q_{31}=A+\Delta U=A$ так, что $Q_{31}=\int_{V_{3}}^{V_{1}}p\,dV=p_{3}V_{3}\ln\frac{V_{1}}{V_{3}}=\nu RT_{1}\ln\frac{V_{1}}{V_{3}},$ где в интеграле использовали $pV=p_{3}V_{3}$ уравнение состояния при $T=\text{const}.$ Отношение объёмов $\frac{V_{1}}{V_{3}}=\frac{V_{2}T_{1}}{V_{3}T_{2}}=\sqrt[\gamma-1]{\frac{T_{1}}{T_{2}}}\frac{T_{1}}{T_{2}}=\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}.$ Тогда $\eta=1-\frac{|Q_{2}|}{Q_{1}}=1-\frac{RT_{1}\frac{\gamma}{\gamma-1}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}{C_{p}\left(T_{2}-T_{1}\right)}$, с учётом $\gamma=\frac{C_{p}}{C_{V}}$ и $C_{p}=C_{V}+R$ получим, что $\frac{\gamma}{\gamma-1}=\frac{C_{p}}{R}$ и окончательно $\eta=1-\frac{T_{1}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}{T_{2}-T_{1}}=1-\frac{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}{\frac{T_{2}}{T_{1}}-1}$ 2. Найти КПД цикла, состоящего из изобары, изохоры (${Т}_{2}$) и изотермы ($T_{1}$) как функцию величин температур ${Т}_{2}$ и ${Т}_{1}$ (${Т}_{2}>{Т}_{1}$) $Q_{12}=\nu C_{P}(T_{2}-T_{1})$ $Q_{23}=\nu C_{V}(T_{3}-T_{2})=\nu C_{V}(T_{1}-T_{2})$ $Q_{31}=A+\Delta U$ в прошлой задаче уже вычисляли $Q_{31}=\nu RT_{1}\ln\frac{V_{1}}{V_{3}},$ Но с учётом того, что сначала процесс был изобарный, а потом изохорный, можем записать $\frac{V_{1}}{V_{3}}=\frac{T_{1}V_{2}}{V_{3}T_{2}}=\frac{T_{1}}{T_{2}}$ тогда $Q_{31}=\nu RT_{1}\ln\frac{T_{1}}{T_{2}}$ и окончательно $\eta=1-\frac{|Q_{2}|}{Q_{1}}=1-\frac{|Q_{23}+Q_{31}|}{Q_{12}}=1-\frac{|C_{V}(T_{1}-T_{2})+RT_{1}\ln\frac{T_{1}}{T_{2}}|}{C_{P}(T_{2}-T_{1})}=1-\frac{C_{V}(T_{2}-T_{1})+RT_{1}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}{C_{P}(T_{2}-T_{1})}$ $\eta=\frac{R(T_{2}-T_{1})-RT_{1}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}{C_{P}(T_{2}-T_{1})}$ 3. Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно, при этом в процессе адиабатного расширения объем газа увеличивается в $n=4$ раза. Определите термический КПД цикла. $Q_{12}=RT_{1}\intop_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{dV}{V}=RT_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}$ аналогично $Q_{34}=RT_{2}\ln\frac{V_{4}}{V_{3}}$ Из уравнений адиабаты $T_{1}V_{2}^{\gamma-1}=T_{2}V_{3}^{\gamma-1}$ и $T_{1}V_{1}^{\gamma-1}=T_{2}V_{4}^{\gamma-1}$ получаем $\left(\frac{V_{3}}{V_{4}}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_{1}}{T_{2}}\left(\frac{V_{2}}{V_{4}}\right)^{\gamma-1}=\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{\gamma-1}$тогда $\eta=1-\frac{|Q_{2}|}{Q_{1}}=1-\frac{|Q_{34}|}{Q_{12}}=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}=1-\left(\frac{1}{n}\right)^{\gamma-1}$. С учётом $\frac{T_{1}}{T_{2}}=\left(\frac{V_{3}}{V_{2}}\right)^{\gamma-1}=n^{\gamma-1}$ $\eta=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}=1-\left(\frac{1}{n}\right)^{\gamma-1}$ 4. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, получив от нагревателя количество теплоты $Q_{1}=4,2$ кДж, совершил работу ${А}=590$ Дж. Найти КПД этого цикла. Во сколько раз температура ${Т}_{1}$ нагревателя больше температуры ${Т}_{2}$ охладителя? Исходя из $\eta=\frac{Q_{1}-|Q_{2}|}{Q_{1}}=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}$ и $A=Q_{1}-|Q_{2}|$ получим $\eta=\frac{Q_{1}-|Q_{2}|}{Q_{1}}=\frac{A}{Q_{1}}$, тогда $\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{1}{1-\frac{A}{Q_{1}}}$ 5. Идеальная холодильная машина, работающая по обратному циклу Карно, совершает за один цикл работу ${А}=37$ кДж. При этом она берет тепло от тела с температурой ${Т}_{1}=10$ С$^{\circ}$ и передает тепло телу с температурой ${Т}_{2}=17$ С$^{\circ}$. Найти КПД цикла, количество теплоты, $Q_{2},$ отнятое у холодного тела, и количество теплоты $Q_{1},$ переданное более горячему телу за один цикл. $\eta=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}$, а из $\eta=\frac{Q_{1}-|Q_{2}|}{Q_{1}}=\frac{A}{Q_{1}}$ найдём $Q_{1}=\frac{A}{\eta}$, а из $A=Q_{1}-|Q_{2}|$ найдём $|Q_{2}|=Q_{1}-A.$ 6. Изменение энтропии на участке между двумя адиабатами в цикле Карно $\Delta S=4,19$ кДж/К. Разность температур между двумя изотермами $\Delta T=100$ К. Какое количество теплоты $Q$ превращается в работу в этом цикле? Изменение энтропии идеального газа при изотермическом процессе $\Delta S=\intop dS=\int\frac{dQ}{T}=\frac{1}{T}\int dQ=\frac{Q_{1}}{T}$ Работа $A=Q_{1}-|Q_{2}|=Q_{1}\left(1-\frac{|Q_{2}|}{Q_{1}}\right)=Q_{1}\eta=Q_{1}\left(1-\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)=\frac{Q_{1}}{T_{1}}\left(T_{1}-T_{2}\right)=\Delta S\Delta T$ 7. Найти изменение $\Delta S$ энтропии при превращении массы $m=10$ г. льда ($t_{1}=20$ C$^{\circ}$) в пар при ($t_{3}=100$ С$^{\circ}$). Теплота плавления $q_{{пл}}$ и теплота парообразования $q_{{пар}}$ известны. Сначала тепло идёт на нагрев льда, затем плавление, далее нагрев воды и на последнем этапе превращение в пар. $\Delta S_{1}=\intop_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{dQ}{T}=\intop_{T_{1}}^{T_{2}}mC_{\text{л}}\frac{dT}{T}=mC_{\text{л}}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}},$ где $C_{\text{л}}$ удельная теплоёмкость льда $T_{i}=t_{i}+273$, $T_{2}=273$ K$^{\circ}.$ $\Delta S_{2}=\frac{q_{\text{пл}}}{T_{2}}$, $\Delta S_{3}=mC_{\text{в}}\ln\frac{T_{3}}{T_{2}},$ $\Delta S_{4}=\frac{q_{\text{пар}}}{T_{3}}$ так, что $\Delta S=\Delta S_{1}+\Delta S_{2}+\Delta S_{3}+\Delta S_{4}$ 8. Во сколько раз необходимо увеличить объем ($\nu=5$ моль) идеального газа при изотермическом расширении, если его энтропия увеличилась на $\Delta S=57,6$ Дж/К? При изотермическом процессе $Q=A+\Delta U=A+0$ Найдём работу $A=\int pdV=p_{1}V_{1}\int\frac{dV}{V}=p_{1}V_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}=\nu RT\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}$ Изменение энтропии $\Delta S=\int\frac{dQ}{T}=\frac{1}{T}\int dQ=\frac{Q}{T}=\frac{A}{T}=\nu R\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}$ Следовательно, $\frac{V_{2}}{V_{1}}=\exp\left(\frac{\Delta S}{\nu R}\right)$ 9. При нагревании двухатомного идеального газа ($\nu=2$ моль) его термодинамическая температура увеличилась в $n=2$ раза. Определите изменение энтропии, если нагревание происходит: 1) изохорно; 2) изобарно. $\Delta S_{1}=\int\frac{dQ}{T}=\int\frac{\nu C_{V}dT}{T}=\nu C_{V}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}=\left.\nu\frac{i}{2}R\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}\right|_{i=5}=\frac{5}{2}\nu R\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}$ $\Delta S_{2}=\int\frac{dQ}{T}=\int\frac{\nu C_{p}dT}{T}=\nu C_{p}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}=\left.\nu\frac{i+2}{2}R\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}\right|_{i=5}=\frac{7}{2}\nu R\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}$ 10. Азот массой 28 г адиабатно расширили в $n=2$ раза, а затем изобарно сжали до начального объема. Определите изменение энтропии газа в ходе указанных процессов.