1.15. Найти потенциал $\varphi$ и напряженность $\vec{E}$ электрического  поля: 

а) на оси $Z$  круглого тонкого диска радиуса  $R$; 

б) равномерно заряженной бесконечной плоскости; 

в) на оси $Z$  круглого отверстия радиуса $R$, сделанного в плоскости $z=0$. Плоскость и диск равномерно заряжены с плотностью $\sigma$.

-----

==== а) ====
Для вычислении потенциала выделим на диске кольцо

{{ :electrodynamics:выделение_025.jpg?direct&200 |}}

радиуса $r$ ширины $dr$. На элементе длины
кольца $d\ell~=~r\,d\alpha$ находится количество заряда
$$dq=\sigma d\ell\,dr=\sigma r\,dr\,d\alpha.$$
Потенциал, создаваемый этим  зарядом на оси на расстоянии $z$ от
диска, равен $\frac{dq}{\sqrt{z^2+r^2}}$. Потенциал, создаваемый кольцом
радиуса $r$  ширины $dr$,
$$
d\varphi=\frac{2\pi\sigma r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}}.
$$
Тогда
<WRAP center round box 60%>
$$
\varphi=2\pi\sigma\int\limits_0^R\frac{r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}}
=2\pi\sigma\,\big(\sqrt{z^2+R^2}-|z|\big),
$$
откуда
$$
E_z=-\frac{\partial\varphi}{\partial z}=
2\pi\sigma\biggl(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\biggr).
$$
</WRAP>

==== б) ====
 
Пусть бесконечная заряженная плоскость занимает
положение плоскости ($x, y$).
В силу симметрии распределения зарядов, вектор $\vec{E}$ электрического
поля может зависеть только от координаты $z$ и должен
быть перпендикулярен плоскости. Он направлен к плоскости,
если ее заряд  отрицателен. Поэтому напряженность электрического
поля для равномерно заряженной бесконечной плоскости можно
найти предельным переходом при $R\to\infty$  в формуле для поля,
создаваемого диском радиуса $R$ на оси диска. Получаем
<WRAP center round box 60%>
$$E_z=2\pi\sigma\frac{z}{|z|}.$$
</WRAP>


Заметим, что предельный переход  в  формуле для потенциала приводит  к  бесконечности, что, в общем то, и следовало ожидать, т.к. случай не совсем физический и связан с бесконечным зарядом на бесконечной плоскости. Для нахождения распределение потенциала   используем интеграл:
$$
\varphi=-\int \limits_0^z E_z dz=-2\pi\sigma \int \limits_0^z dz=-2\pi\sigma z.
$$
При этом мы выбрали потенциал равным нулю на плоскости. Поле в нижнем полупространстве будет таким же (знак не поменяется), следовательно,
<WRAP center round box 60%>
$$\varphi=-2\pi\sigma |z|.$$
</WRAP>

Напряженность электрического поля на заряженной
плоскости терпит скачок, равный $4\pi\sigma$, как и следует из
граничного условия $${E_{2n}|-E_{1n}|=4\pi\sigma.}$$

==== в) ==== 

Поле, создаваемое плоскостью с отверстием, можно рассматривать
как суперпозицию двух полей: поля плоскости без
отверстия, заряженной с плотностью $\sigma$, и поля диска радиуса
$R$, заполняющего отверстие и заряженного с плотностью $-\sigma$.
Поэтому
<WRAP center round box 60%>
$$
E_z=2\pi\sigma\,\frac{z}{|z|}-
2\pi\sigma\,\biggl(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\biggr)=
2\pi\sigma\,\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}.
$$
</WRAP>

Распределение потенциала на оси отверстия
<WRAP center round box 60%>
$$
\varphi=\int E_z\,dz+\text{const}=-2\pi\sigma\,\sqrt{R^2+z^2}+\text{const}.
$$
</WRAP>

Константу  можно  выбрать  равной  нулю,  это  будет означать, что
потенциал в центре отверстия $\varphi(0)=-2\pi\sigma R$.