1.42. Найти потенциал электрического поля на больших расстояниях от
следующих систем зарядов:
а) заряды $q$, $-2q$, $q$ расположены на
оси $Z$ на расстоянии $a$ друг от друга (линейный
квадруполь);
б) заряды $\pm q$ расположены в вершинах квадрата, стороны
которого параллельны осям $X$ и $Y$, так что соседние заряды имеют
разные знаки, а в начале координат расположен заряд $+q$ (плоский квадруполь).
-----
==== a) ====
Вычислим квадрупольный момент системы. Ось $\vec{OZ}$ выделенная направлением расположения зарядов. Поместим в центр с координатой $z=0$ второй заряд $q_2=-2q$, тогда первый и третий заряды будут соответственно с координатами $z_1=-a$, $z_3=a$. Итак
\[
D_{zz} = \sum {q_i } \left( {3z_i^2 - r_i^2 } \right) =
q(3a^2-a^2) -2q(0-0) + q(3a^2-a^2)
= 4qa^2 = D,
\]
\[
D_{xx} = D_{yy} = - \sum {q_i r_i^2 } = - 2qa^2.
\]
Используя найденные квадрупольные моменты запишем потенциал
\[
\varphi = \frac{{D_{\alpha \beta } n_\alpha n_\beta }}{{2R^3 }},
\]
где соответствующие направления вектора $\vec R$, выраженные через углы сферических координат:
\[
n_x = \sin \theta \cos \phi ,
\]
\[
n_y = \sin \theta \sin \phi ,
\]
\[
n_z = \cos \theta .
\]
Подставляя
$$
\varphi = \frac{D_{xx} n_x^2 + D_{yy} n_y^2 + D_{zz} n_z^2 }{2R^3} =
$$
$$
\frac{D}{2} \cdot \frac{1}{2R^2}\left(-n_x^2-n_y^2+2n_z^2 \right) =
$$
$$
\frac{D}{4R^3}\left( - 1 + 3n_z^2 \right)
$$
и окончательно:
$$
\varphi = \frac{qa^2 }{R^3 }\left( 3\cos ^2 \theta - 1 \right).
$$
==== б) ====
Для вычисления определимся с координатами зарядов:
^ № ^ $1$ ^ $2$ ^ $3$ ^ $4$ ^
^ $q$ | $q$ | $-q$ | $q$ | $-q$ |
^ $x$ | $0$ | $0$ | $a$ | $a$ |
^ $y$ | $0$ | $a$ | $a$ | $0$ |
^ $z$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
Вычислим момент
\[
D_{xx} = \sum {q_i \left( {3x_i^2 - r_i^2 } \right)} =
\]
$$
q \cdot 0 - q \cdot (0 - a^2) + q \cdot (3a^2 - (\sqrt{2} a)^2 ) - q\cdot
(3 a^2 - a^2) = 0.
$$
Из симметрии $D_{yy} = 0$. Так как след матрицы $D_{ij}$ равен нулю, т.е. $0=D_{xx}+D_{yy}+D_{zz}$ следует, что
$
D_{zz} = 0
$.
Вычислим, теперь
\[
D_{xy} = 3(q \cdot 0 \cdot 0 -q\cdot 0 \cdot a + q\cdot a \cdot a - q\cdot a \cdot 0 ) = 3qa^2.
\]
Из симметрии:
\[
D_{yx} = D_{xy} = 3qa^2.
\]
Запишем, теперь, потенциал:
\[
\varphi = \frac{{3qa^2 }}{{2R^3 }}\left\{ {n_x n_y + n_y n_x } \right\} = \frac{{3qa^2 }}{{2R^3 }}\sin ^2 \theta \sin 2\phi
\]