1.49. Плоскость $z=0$  заряжена с плотностью $\sigma \left( {x,y}
\right) = \sigma _0 \sin \left( {\alpha x} \right) \cdot \sin
\left( {\beta y} \right)$, где $\sigma_0,\alpha,\beta$ --
постоянные. Найти потенциал этой системы зарядов.

-----

Потенциал $\varphi$ удовлетворяет уравнению Лапласа
\begin{equation}
 \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+
 \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+
 \frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}=0.
\end{equation}
 На заряженной плоскости нормальная составляющая электрического
 поля терпит разрыв
\begin{equation}
  E_{2z}\big |_{z=0}-E_{1z}\big |_{z=0}=4\pi\sigma.
\end{equation}
 Поскольку поверхностная плотность $\sigma$  есть произведение
 двух функций, одна из которых зависит только от координаты
 $x$, а другая от $y$, будем искать решение уравнения Лапласа в виде
\begin{equation}
 \varphi(x,y,z)=\sin\alpha x \cdot \sin\beta y\cdot f_3(z).
\end{equation}
 Подставим  функцию $\varphi(x,y,z)$ в уравнение Лапласа и поделим каждое
 слагаемое на $\varphi$, получим
\begin{equation}
 \frac{f''_3(z)}{f_3(z)}=
 -\biggl(\frac{(\sin\alpha x)''}{\sin\alpha x}+ \frac{(\sin\beta y)''}{\sin\beta y}\biggr).
\end{equation}
Чтобы это уравнение удовлетворялось при всех $x$, $y$, $z$,
нужно приравнять каждое слагаемое константе. Пусть
$$\frac{f''_3(z)}{f_3(z)}=\gamma^2=\alpha ^2 + \beta ^2.$$

Общим решением этого уравнения является функция
$$f_3(z)=A e^{\textstyle -\gamma z}+B\,e^{\textstyle\gamma z}.$$

Понятно, что при стремлении $z\to\pm\infty\,,\;$ $f_3(z)$
не должна стремиться  к бесконечности, поскольку поле создается
знакопеременными зарядами. Этому условию можно удовлетворить,
если записать  решение, например, так:
$$f_3(z)=A\,e^{\textstyle -\gamma|z|}.$$

Тогда: /*
$$\frac{f''_1(x)}{f_1(x)}=-\gamma_1^2\,,\;\;\;
 \frac{f''_2(y))}{f_2(y)}=-\gamma_2^2\,,\;\;\;
 \gamma^2=\gamma_1^2+\gamma_2^2.$$

Решениями этих уравнений являются гармонические функции. Чтобы удовлетворить гармоническому условию (2), нужно   выбрать:
$$f_1(x)=\sin\alpha x\,,\quad \alpha^2=\gamma_1^2\,;\quad
 f_2(y)=\sin\beta y\,,\quad \gamma_2^2=\beta^2;$$
значит,  $\gamma=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$.  Итак, */
$$\varphi=A\,e^{\textstyle -\gamma|z|}\sin\alpha x\,\sin\beta y.$$

Нормальная составляющая электрического поля $E_z=-
 \partial\varphi/\partial z.$

Поэтому
$$E_{2z}\big|_{z=0}=\gamma A\sin\alpha x\,\sin\beta y,$$
$$E_{1z}\big|_{z=0}=-\gamma A\sin\alpha x\,\sin\beta y.$$

Подставляя эти выражения в уравнение $E_{2z}\big |_{z=0}-E_{1z}\big |_{z=0}=4\pi\sigma$, найдем, что $A=2\sigma_0/\gamma$.

Окончательно распределение потенциала будет иметь вид
<WRAP center round box 60%>
$$
\varphi(x, y, z)=\frac{2\sigma_0}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}
\,e^{\textstyle -\sqrt{\alpha^2+\beta^2}|z|}\sin\alpha x\,\sin\beta y.
$$

</WRAP>