2.13. Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок $a$ и
$b$ диэлектрическая проницаемость меняется по закону
\[
\varepsilon \left( r \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\varepsilon _1, \mbox{ при } a \le r < c \\
\varepsilon _2,  \mbox{ при } c \le r \le b \\
\end{array} \right.,
\]
где $a<c<b$. Найти емкость конденсатора, распределение зарядов
$\sigma_\text{связ}$ и полный связанный заряд в диэлектрике.

-----

Предложенную систему можно представить в виде двух последовательно соединенных сферических конденсаторов. Полная ёмкость которых определяется соотношением
\[
\frac{1}{C}=\frac{1}{C_{a-c}}+\frac{1}{C_{c-b}}.
\]
Для нахождения емкости одного сферического конденсатора рассмотрим 2 вложенные одну в другую концентрические сферы с радиусами \(R_1\) и \(R_2\), \((R_1<R_2)\). Пространство между ними заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\). Предположим, что вектор электростатической индукции \(\vec D\) в шаровом слое между обкладками имеет только  радиальную компоненту (в силу сферической симметрии задачи), и она выражается в виде
\[
D=\frac{aQ_1}{r^2},
\]
где \(Q_1\)-- заряд внутренней обкладки.
Граничное условие на границе радиуса \(R_1\) можно рассматривать как следствие теоремы Гаусса.
\[
D_{1n}=D|_{r=R_1}=4\pi\sigma=\frac{Q_1}{R_1^2},
\]
откуда следует \(a=1\). Таким образом, в зазоре между сферическими поверхностями
\[
D=\frac{Q_1}{r^2},\;\;E=\frac{Q_1}{\varepsilon r^2}.
\]
Разность потенциалов между обкладками равна
\[
\Delta \varphi=\int\limits_{R_1}^{R_2} E d r=\frac{Q_1}{\varepsilon} \int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{ d r}{r^2}=\frac{Q_1}{\varepsilon}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right).
\]
Таким образом, емкость сферического конденсатора
\[
C=\frac{Q_1}{\Delta \varphi}=\frac{\varepsilon}{\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}}.
\]
Откуда получаем емкость 2-х последовательно соединенных конденсаторов
\[
C = \left[ {\frac{1}{{\varepsilon _1 }}\left( {\frac{1}{a}
- \frac{1}{c}} \right) + \frac{1}{{\varepsilon _2 }}\left(
{\frac{1}{c} - \frac{1}{b}} \right)} \right]^{ - 1}.
\]
Распределение связанных зарядов получается из описанного выше решения с учетом того, что \(D=\frac{Q_1}{r^2}\) во всем пространстве между обкладками, а электрическое поле в области \(a< r< c E=D/\varepsilon_1\), а в области
 \(с< r< и E=D/\varepsilon_2\). Тогда
 \[
 \begin{split}
 \sigma_\text{связ} \left( a \right)& =\frac{E_{1n}-D_{1n}}{4\pi}=-\frac{Q_1}{{4\pi a^2 }}\left( {1- \frac{1}{{\varepsilon _1 }}} \right),\\
 \sigma_\text{связ} \left(c \right)& =\frac{E_{c+}-E_{c-}}{4\pi}=\frac{Q_1}{{4\pi c^2 }}\left( {\frac{1}{{\varepsilon _2 }} - \frac{1}{{\varepsilon _1
}}} \right),\\
\sigma _\text{связ} \left( b \right) &=\frac{Q_1}{{4\pi b^2 }}\left( {1 - \frac{1}{{\varepsilon _2 }}} \right).
\end{split}
 \]
где $Q_1$ -- заряд внутренней обкладки.