==== а) Сфера заземлена. Заряд вне сферы.====

{{:electrodynamics:выделение_058.jpg?direct&200 |}}
Если сфера заземлена, потенциал сферы равен нулю: ${\varphi(a)=0}$.
Как показано в
[[res1.10|задаче 1.10]], в системе двух разноименных
зарядов имеется сферическая эквипотенциальная поверхность
нулевого потенциала.
Если заряд $q$  расположен на расстоянии $\ell$ от центра сферы
радиуса $a$, то изображением этого
заряда будет заряд 
$$
q'=-\frac{qa}{\ell},
$$
который следует поместить на расстояние
$$
\ell'=\frac{a^2}{\ell}
$$
от центра сферы. Таким образом,
распределение потенциала и напряженности электрического поля вне сферы, создаваемое зарядом $q$   и
индуцированными зарядами на сфере, совпадает с распределением
потенциала и напряженности, создаваемым  двумя точечными
зарядами $q$ и $q'$:
$$
\varphi=\frac{q}{r}-\frac{a}{\ell}\frac{q}{r'}
\qquad \mbox{при} \qquad R\geq a\,,
$$
$$
\vec{E}=\frac{q\vec{r}}{r^3}-q\frac{a}{\ell}\frac{\vec{r}'}
{r'^3}
\qquad \mbox{при} \qquad R>a,
$$
где $r$ и $r'$ --- расстояния до точки наблюдения от зарядов
$q$ и $q'$ соответственно. Потенциал внутри сферы
постоянен и равен потенциалу на сфере $\varphi(a)=0$.

На внутренней поверхности сферы нет зарядов.
Потенциал внутри сферы удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta\varphi=0$.
На стенках сферы он --- константа, равная нулю.
Решение, удовлетворяющее этому условию, можно указать сразу ---
это $\varphi=0$. По теореме единственности других решений быть
не может. Значит, и 
$$\vec{E}=-\text{grad}\,\varphi=0 \hspace{10pt} \text{ для } R<a.
$$


Найдем  распределение поверхностной
 плотности заряда $\sigma$ по сфере. На заряженной поверхности,
 разделяющей области 1 и 2, в вакууме нормальные составляющие
 электрического поля  терпят разрыв 
$$
E_{2R}\big|_{R=a}-
E_{1R}\big|_{R=a}=4\pi\sigma.
$$
Поскольку в нашем  случае поле внутри проводящей сферы (толщина сферы не нулевая) равно нулю $E_{1R}\big|_{R=a}=0$,
то
$$
\sigma=\frac{1}{4\pi}E_{2R}\bigg|_{R=a}\;.
$$

Найдём напряженность электрического поля на поверхности
заземленной сферы. Заметим, что
$$\vec{R}=\vec{r}+\vec{\ell}\;,$$
$$\vec{R}=\vec{r}'+\vec{\ell}'.$$
 Используя эти соотношения, получаем
$$\vec{E}=q\biggl[\Bigl(\frac{1}{r^3}-\frac{R}{\ell r'^3}
\Bigr)\vec{R}+\Bigl(\frac{R}{\ell
r'^3}\vec{\ell}'-
\frac{\vec \ell}{r^3}\Bigr)\biggr]\;.$$
 Покажем, что второе слагаемое в скобках равно нулю на поверхности
 сферы. Подставляя в него $r=r'\ell/a$ и $\ell'=a^2/\ell$,
 получаем
$$\Bigl(\frac{R}{\ell r'^3}\vec{\ell}'-
\frac{\ell}{r^3}\Bigr)\bigg|_{R=a}= \Bigl(\frac{a^3}{\ell
r'^3}-\frac{1}{r^3}\Bigr)\vec{\ell}=
 \Bigl(\frac{a^3}{\ell^3}\frac{\ell^3}{a^3r^3}-\frac{1}{r^3}\Bigr)
 \vec{\ell}=0\;.$$

Таким  образом,  напряженность  электрического  поля  на поверхности
сферы,  как  и следовало  ожидать, имеет  только нормальную составляющую
$$\vec{E}\big|_{R=a}=q\Bigl(\frac{1}{r^3}-\frac{R}{\ell r'^3}
\Bigr)\vec{R}\;.$$
Выражая $r$ и $r'$ через координаты ($R\,,\,\theta\,,\,\alpha$)
в сферической системе
$$r=\bigl(R^2+\ell^2-2R\ell\cos\theta\bigr)^{1/2}\,,$$
$$r'=\bigl(R^2+\ell'^2-2R\ell'
\cos\theta\bigr)^{1/2},$$
находим
$$E_{2R}=-\frac{q(\ell^2-a^2)}{a(a^2+\ell^2-2a\ell\cos\theta)^{3/2}}.$$
Тогда
\[
\sigma=-\frac{q(\ell^2-a^2)}{4\pi
a(a^2+\ell^2-2a\ell\cos\theta)^{3/2}}.
\]

Найдем полный заряд на полусфере, обращенной к заряду $q$.
{{:electrodynamics:выделение_059.jpg?direct&200 |}}
Заряд на кольце
 ширины $ad\theta$ радиуса $a\sin\theta$ равен
$$dQ=\sigma\cdot 2\pi a^2\sin\theta\,d\theta\,.$$
Тогда величина заряда на полусфере,
обращенной к заряду $q$, будет равна
$$
Q_1=-2\pi a^2\int\limits_{0}^{\pi/2}
\frac{q(\ell^2-a^2)\sin\theta\,d\theta} {4\pi
a(a^2+\ell^2-2a\ell\cos\theta)^{3/2}}=
$$
$$
\frac{q(\ell^2-a^2)}{2\ell}
\biggl(\frac{1}{\sqrt{a^2+\ell^2}}-\frac{1}{\ell-a}\biggr)\,.
$$

Таким же образом найдем заряд на противоположной полусфере:
$$Q_2=\frac{q(\ell^2-a^2)}{2\ell}\biggl(\frac{1}{a+\ell}-
\frac{1}{\sqrt{a^2+\ell^2}}\biggr)\,.$$
Суммарный заряд на сфере, как и следовало ожидать,
$$Q=Q_1+Q_2=-q\frac{a}{\ell}.$$

То, что полный заряд на сфере равен $q'$, можно понять
 и не интегрируя поверхностную плотность. Действительно, мы
 нашли, что вне сферы поле $\vec{E}$  создается зарядами $q$  и
 $q'$. Поток вектора $Е$   через поверхность, внутри
 которой находится сфера без заряда $q$, определяется только
 полем, создаваемым зарядом $q'$, так как поверхность не
 охватывает заряд $q$, т. е. $\displaystyle\oint(\vec{E}\,d\vec{s})=
4\pi q'$. Но это и означает, что полный
 заряд на поверхности сферы равен $q'$.

==== б) Заряд вне сферы. Сфера изолирована. ====

Если сфера изолирована, то полный заряд сферы равен нулю,
поэтому для определения поля вне сферы нужно поместить внутри
сферы еще один фиктивный заряд
$q''=-q'$.
Это легко  понять из  следующих рассуждений. Вне сферы будет
{{:electrodynamics:выделение_060.jpg?direct&200 |}}
 какое-то   распределение
напряженности электрического поля  $\vec{E}$.
Если взять поток вектора $\vec{E}$  через
поверхность, окружающую сферу, но не окружающую заряд $q$,
то он должен быть по теореме   Гаусса равен полному заряду $Q$,
 находящемуся внутри объема, ограниченного этой поверхностью,
 умноженному на $4\pi$:
$$\oint(\vec{E}\,d\vec{s})=4\pi Q\,.$$
 Поскольку в действительности сфера не заряжена $Q=0$,
 поток должен быть равен нулю. Если мы оставим внутри сферы
 только заряд $q'$, то поток будет равен
$$\oint(\vec{E}\,d\vec{s})=4\pi q',$$
 что неверно, значит, внутрь сферы нужно поместить еще один
 заряд $q''$, равный  по величине и
 противоположный по знаку
 заряду $q'$,  $q''=~-q'$.

Заряд $q''$ нужно поместить в такую точку,
 чтобы сфера  осталась эквипотенциальной поверхностью в системе трех зарядов. Такой точкой является центр сферы. Окончательно
$$
\varphi(\vec{R})=\frac{q}{r}+\frac{q'}{r'}-
\frac{q'}{R} \hspace{10pt} \mbox{при } \qquad R\geq a,
$$
$$
\vec{E}(\vec{R})=\frac{q\vec{r}}{r^3}+\frac{q'\vec{r}'}
  {r'^3}-
\frac{q'\vec{R}}{R^3} \hspace{10pt} \mbox{при } \qquad R> a.
$$
Внутри сферы потенциал постоянен и равен потенциалу на сфере
$$
\varphi(\vec{R})=\varphi(a)=\frac{q}{\ell}
 \hspace{10pt} \mbox{при } R\leq a,
$$
а поле $\vec{E}=0$. Рассуждения такие же,  как и для заземленной
сферы.

Проводящая оболочка экранирует внешнее поле заряда $q$.
Распределение заряда по поверхности будет иметь вид:
$$\sigma=-\frac{q(\ell^2-a^2)}{4\pi a(a^2+\ell^2-2a\ell\cos\theta)^{3/2}}+
 \frac{q}{4\pi a\ell}=$$
$$=\frac{q}{4\pi a^2}\biggl(\frac{a}{\ell}-
\frac{a(\ell^2-a^2)}{(a^2+\ell^2-2a\ell\cos\theta)^{3/2}}\biggr)\,.$$

==== в) Заряд внутри сферы. Сфера изолирована. ====

Заряд на сфере равен нулю, поскольку сфера была не заряжена.
Если заменить сферу сферическим  проводящим слоем некоторой
толщины с внутренним  радиусом, равным  радиусу сферы,
то поток вектора $\vec{E}$ через поверхность, проходящую в толще
слоя, равен нулю, так как поле в проводнике $\vec{E}=0$. Отсюда
 следует, что на внутренней поверхности слоя      индуцируется
 заряд $(-q)$, на внешней --- $q$. Поля внесенного заряда $q$  и
 индуцированного на внутренней поверхности заряда $(-q)$
 полностью компенсируют друг друга в толще слоя и во всем
 внешнем пространстве. Чтобы убедиться в этом, достаточно
 представить все внешнее пространство заполненным проводящей средой.
 В проводящей среде $\vec{E}=0$, поэтому $\rho=0$.
 Если теперь убрать электронейтральную среду, то ничего не
 изменится, поле останется равным нулю и распределение заряда
 на внутренней оболочке не зависит от толщины оболочки, а
 зависит только от места нахождения заряда $q$.

Чтобы индуцированный на внешней поверхности слоя
 заряд $q$ не создавал в толщине слоя поле, он должен
 распределиться равномерно. Понятно, что равномерность
{{:electrodynamics:выделение_061.jpg?direct&200 |}}
 распределения
 заряда на внешней поверхности слоя сохранится, если толщину слоя
 устремить к нулю. Напряженность электрического поля вне сферы от равномерно распределенного по поверхности                    сферы заряда $q$  будет такая же, как от                    точечного заряда $q$, помещенного в центр                    сферы:
$$\vec{E}(\vec{R})=\frac{q\vec{R}}{R^3}
\qquad \mbox{при} \qquad R> a\,,$$
$$\varphi(\vec{R})=\frac{q}{R}
 \qquad \mbox{при} \qquad R\geq a\,.$$

 Причем поле вне сферы не зависит от того, где внутри сферы
 находится внесенный заряд $q$.

Следует заметить, что
 потенциал вне сферы удовлетворяет уравнению Лапласа
$\Delta\varphi=0\;$ и
 что этот потенциал на сфере должен быть константой. Но
 решение $\varphi=const$ и соответственно $\vec{E}=0$
 во всей области вне сферы будет неверным. Действительно,
 проводящая сфера делит
 все пространство на две области: внутреннюю с границей, на
 которой заряд $(-q)$, и внешнюю с границей, где заряд $(+q)$.
 Из решения $\vec{E}=0$ следует, что на внешней границе
 $\sigma=0$. А это не верно.

Потенциал
$$\varphi(\vec{R})=\frac{q}{r}+\frac{q'}{r'}+
 const
  \qquad \mbox{при} \qquad R\leq a.$$

Из условия непрерывности потенциала на поверхности сферы
 следует, что $const=\frac qa$. Заряды $q$ и $q'$
 обладают свойством взаимности: если $q'$
 является изображением заряда  $q\,$, то
 и обратно заряд $q\,$  является изображением заряда
 $q'$.
 Заряды $q\,$  и  $q'$ создают на сфере потенциал,
 равный нулю. Напряженность электрического поля внутри сферы
$$\vec{E}=\frac{q\vec{r}}{r^3}-q\frac{a}{\ell}
\frac{\vec{r}'}{r'^3}
\qquad \mbox{при} \qquad R<a.$$

 Поступая так же, как при выводе формулы (2), находим распределение
 заряда на внутренней поверхности сферы:
$$\sigma=-\frac{q(a^2-\ell^2)}
{4\pi a(a^2+\ell^2-2a\ell\cos\theta)^{3/2}}\,.$$

 Заряды на полусферах будут равны
$$Q_1=\frac{q(a^2-\ell^2)}{2\ell}
\biggl(\frac{1}{\sqrt{a^2+\ell^2}}-\frac{1}{a-\ell}\biggr),$$
$$Q_2=\frac{q(a^2-\ell^2)}{2\ell}\biggl(\frac{1}{a+\ell}-
\frac{1}{\sqrt{a^2+\ell^2}}\biggr).$$

 Полный заряд на внутренней поверхности сферы, как и следовало
 быть, $Q_1+Q_2=-q$.

==== г) Заряд внутри сферы. Сфера заземлена. ====

 Если  заземлить сферу,  рассмотренную выше,  то потенциал сферы
{{:electrodynamics:выделение_062.jpg?direct&200 |}}
сравняется с потенциалом
земли $\varphi=0$ и заряд $q$ с внешней
поверхности сферы  стечет в землю.
 Поэтому
$$\varphi=0 \qquad\mbox{при} \qquad R\geq a,$$
$$\vec{E}=0 \qquad\mbox{при} \qquad R>a.$$

 Напряженность электрического поля внутри сферы и распределение
 заряда по внутренней поверхности сферы не изменятся,
 останутся
такими же, как для изолированной сферы. Потенциал
$$\varphi(\vec{R})=\frac{q}{r}+\frac{q'}{r'}
\qquad \mbox{при} \qquad R\leq a.$$

 Таким образом, заземленная сфера экранирует поле заряда,
 помещенного внутрь сферы.