4.22.  Найти магнитный момент однородно заряженного шара (сферы),
вращающегося вокруг одного из своих диаметров с угловой скоростью
$\omega$. Заряд шара --- $e$, радиус --- $a$.

-----

==== а) ====
Найдем магнитный момент сферы. Возьмем на поверхности
сферы узкий поясок, заключенный между углами $\,\theta$  и
$\,\theta+\,d\theta$.
Заряд, вращаясь вместе
{{:electrodynamics:выделение_150.png?direct&200 |}}
со сферой,  создает  ток, величина
которого на выделенном пояске
$$dJ= \frac{dq}{dt} =\frac{\sigma dS}{dt} =\frac{\sigma (a^2\sin \theta d\theta d\alpha )}{dt}
= 
\frac{1}{4\pi}Q\omega \sin\theta\,d\theta\,,$$ 
где $\omega =\frac{d\alpha}{dt}$ ---
угловая скорость вращения, $\,\sigma=Q/4\pi a^2$ --- поверхностная
плотность заряда. Магнитный момент этого тока
$$d\vec{m}=\frac{dJ\,\vec{s}}{c}=
\frac{\pi a^2Q\vec{\omega}}{4\pi c}\sin^3\theta\,d\theta\,.$$
Интегрируя по $\,\theta$, находим магнитный момент всей сферы:
$$\vec{m}=\int d\vec{m}=
\frac{Qa^2\vec{\omega}}{4c}
\int\limits_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta=
\frac{Qa^2\vec{\omega}}{3c}\,.$$

==== б) ====
Найдем магнитный момент равномерно заряженного
 вращающегося вокруг одного из своих диаметров шара. Используя
 результат предыдущей задачи, магнитный момент тонкого шарового
 слоя радиуса $\,R$ толщины $\,dR$ выразится так:
$$d\vec{m}=\frac{\vec{\omega}R^2}{3c}\,dQ\,,$$
 где $\,dQ$ -- заряд шарового слоя.
Так как
$$dQ=\frac{Q}{4\pi a^3/3}\cdot 4\pi R^2\,dR=
\frac{3QR^2\,dR}{a^3}\,,$$
то магнитный момент шара будет равен

$$\vec{m}=\frac{Q\vec{\omega}}{ca^3}
  \int\limits_0^a R^4\,dR=\frac{Qa^2}{5c}\vec{\omega}\,.$$