6.1.  Линия состоит из двух коаксиальных тонких цилиндрических оболочек с радиусами $a<b$, пространство между ними заполнено веществом с магнитной проницаемостью $\mu$. Найти коэффициент самоиндукции на единицу длины линии.

-----

 Магнитное поле в такой аксиально-симметричной системе имеет единственную компоненту \(H_\alpha\). Используя теорему Стокса, можно показать, что
\[
\begin{split}
H_\alpha   &= 0 \;\;\text{при}\;\; r \le a,\\
H_\alpha   &= \frac{{2\pi I}}{cr}\;\;\text{при}\;\; a \le r \le b,\\
H_\alpha   &= 0\;\;\text{при}\;\; r > b.
\end{split}
\]
\[
B_\alpha   = \mu H_\alpha
\]
Тогда энергия в зазоре между коаксиальными цилиндрами, в котором поле не равно нулю, на единицу длины цилиндра равна
\[
W = \int{\frac{{\left( {\vec B\vec H} \right)dV}}{{8\pi }}}  = \frac{{2\pi }}{{8\pi }}\mu \int\limits_a^b {rdr\frac{{4I^2 }}{{c^2 r^2 }}}  = \mu \frac{{I^2 }}{{c^2 }}\int\limits_a^b {\frac{{dr}}{r}}  = \mu \frac{{I^2 }}{{c^2 }}\ln \frac{b}{a}
\]
Откуда
\[
W = \frac{{LI^2 }}{{2c^2 }} = \mu \frac{{I^2 }}{{c^2 }}\ln \frac{b}{a},
\]
\[
L = 2\mu \ln \frac{b}{a}.
\]