6.2.  Вычислить внутреннюю часть самоиндукции единицы длины прямолинейного провода круглого сечения радиуса $a$. Магнитная
проницаемость провода $\mu$.

-----

{{:electrodynamics:выделение_073.jpg?direct&150 |}} Предположим, что по  проводнику течет
постоянный ток $J$. Он создает магнитное поле, которое можно
найти, воспользовавшись теоремой о циркуляции
вектора $\vec{H}$:
\begin{equation}
\oint H_\ell\,d\ell=\frac{4\pi}{c}\int\limits_{S}
              (\vec{j}\,d\vec{s}),
\end{equation}
где $\vec{j}$ --- плотность тока.  Ввиду аксиальной симметрии
напряженность магнитного  поля
зависит только от расстояния  до оси провода и имеет только
$\alpha$-ю  составляющую $\,H_{\alpha}$
в цилиндрической системе координат ($z, r, \alpha$) с осью
$\,Z$ по оси  тока.  Поэтому, взяв циркуляцию вектора $\,\vec{H}$
по окружности радиуса $\,r<a\,$ с центром   на оси провода, найдем
$$\oint H_\ell\,d\ell=H_{\alpha}\cdot2\pi r.$$

Поскольку $j=\text{const}$, то правая часть первого уравнения
$$\frac{4\pi}{c}\int\limits_{S}
  (\vec{j}\,d\vec{s})=\frac{4\pi}{c}j\cdot\pi r^2=
  \frac{4\pi}{c}\frac{J}{a^2}r^2\,.$$
Окончательно находим
$$H_{\alpha}=\frac{2J}{ca^2}r\,
\qquad \mbox{при}\qquad r\leq a\,.$$
Зная  распределение  напряженности  магнитного  поля  $\,\vec{H}$,
находим энергию магнитного поля, запасенную внутри единицы длины
провода. Она равна
\begin{equation}
 W=\frac{1}{8\pi}\int(\vec{B}\,\vec{H})\,dv=
 \frac{\mu}{8\pi}\int H^2\,dv=\frac{\mu J^2}{4c^2}\,.
\end{equation}
Здесь интеграл берется по объему  проводника, и учтено, что
$\vec{B}~=~\mu\vec{H}$. С другой стороны, магнитная энергия
/* % проводника с током $\,J$ выражается через коэффициент
% самоиндукции проводника следующим образом: */
$W=LJ^2/2c^2.$
Сравнивая с последним выражением, находим $\,L=\frac 12\mu .$