====Закон сохранения заряда. Закон Ома====

Направленное движение электрических зарядов $q$ --- ток $J$.
$$ J=\frac{dq}{dt}.$$
Вектор плотности тока $\vec{j}=\rho \vec{v}=en\vec{v}$.

Закон Ома в дифференциальной форме:
$$\vec{j}=\sigma\vec{E}.$$

Для линейных проводников закон Ома $J=\frac UR$, где
$$R=\frac{\ell}{\sigma S}.$$

Закон сохранения заряда в интегральной форме
$$\frac{dq}{dt}=-\oint j_{1n}dS,$$ а в дифференциальной форме:
$$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\text{div} \vec{j}.$$

Для стационарных токов $\text{div} \vec{j}=0$, откуда следует
граничное условие $\left . j_{1n}\right|_{\Gamma}=j_{2n}|_{\Gamma}$.

Из потенциальности поля $\vec{E}$ следует
$$\left . E_{1\tau}\right|_{\Gamma}=\left .E_{2\tau}\right|_{\Gamma}$$ или
$$\left . \frac{j_{1\tau}}{\sigma_1}\right|_{\Gamma}=\left . \frac{j_{2\tau}}{\sigma_2}\right|_{\Gamma}.$$

Потенциал $\varphi$ удовлетворяет уравнению Пуассона
$$
\Delta\varphi=-4\pi \rho, \,\,\,\mbox{где}\,\,\, \vec{E}=-\nabla
\varphi, \,\,\, E_{1\tau}|_{\Gamma}=E_{2\tau}|_{\Gamma},\,\,\,\sigma_1
E_{1n}|_{\Gamma}=\sigma_2 E_{2n}|_{\Gamma} .$$

По найденному $\vec{E}$ и закону Ома
$\vec{j}=\sigma\vec{E}$ находим вектор плотности тока $\vec{j}.$

Правила Кирхгофа $ \sum {J_i}  = 0,\,\,\,\sum
{\cal{E}}_{k} = \sum {J_{i} R_{i} } $.

Закон Джоуля---Ленца: мощность 
$$P = \int \sigma E^2 dV = \int \frac{j^2}{\sigma }dV.$$

/* Вольт--амперная характеристика для вакуумного плоского диода ---
закон <<3/2>>: 
$$j = \frac{1}{9\pi }\sqrt {\frac{2e}{m}}
\frac{U^{3/2}}{d^2}.$$
*/
Заметим, что 
$$
Jd\vec{\ell} = \vec{j}dV =\rho \vec{v}dV=\frac{dq}{dV}\vec{v}dV= \vec{v}dq.$$